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Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-10T16:22:27Z

Elena Jedtke:

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie '''wahr oder falsch''' sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differenzialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
- Wahr
+ Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>g(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten|Graphisches Ableiten]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext|Die Ableitung im Sachkontext]] noch einmal an.

{{SORTIERUNG:{{SUBPAGENAME}}}}
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-10T16:21:02Z

Elena Jedtke:

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie '''wahr oder falsch''' sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differenzialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
- Wahr
+ Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>g'(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-05T11:35:55Z

Elena Jedtke:

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie '''wahr oder falsch''' sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differenzialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
- Wahr
+ Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>f(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-05T10:19:36Z

Elena Jedtke:

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie '''wahr oder falsch''' sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differentialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
- Wahr
+ Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>f(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

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Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-04T17:12:40Z

Elena Jedtke:

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==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie '''wahr oder falsch''' sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differentialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>f(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten|Graphisches Ableiten]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext|Die Ableitung im Sachkontext]] noch einmal an.

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-04T17:11:45Z

Elena Jedtke:

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie wahr oder falsch sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differentialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>f(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

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Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-12-04T17:10:58Z

Elena Jedtke: Diagnoseitems hinzugefügt, Seite erstellt

__TOC__

==Diagnoseaufgaben zu dem Themenbereich Ableitungen==

{| {{Bausteindesign6}}

| <big>Um herauszufinden, welche Themen du noch einmal üben solltest, beurteile die folgenden Aussagen danach, ob sie wahr oder falsch sind. Wenn du alle Felder ausgefüllt hast, kannst du deine Antworten durch einen Klick auf "Speichern" überprüfen. Trage in deine '''Checkliste für die Lernpfad-Arbeit''' ein, welche Aufgaben du richtig und welche du falsch beantwortet hast.</big>
|}

<quiz display="simple">
{ Wir betrachten eine Funktion <math>f</math> auf einem Intervall <math>[a,b]</math>. Die durchschnittliche Änderungsrate wird durch den Differenzenquotienten <math>\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math> beschrieben. }
+ Wahr
- Falsch

{ Du bekommst folgende Aufgabe gestellt:

Die Höhe einer Kressepflanze wurde über mehrere Tage bestimmt. Die Werte wurden in einer Tabelle notiert. Um wie viel ist die Kresse durchschnittlich in sechs Tagen gewachsen?

Hier wird eine momentane Änderungsrate gesucht. }
- Wahr
+ Falsch

{ Wenn man bei der Berechnung des Differenzenquotienten kleiner werdende Intervalle betrachtet, erhält man als Grenzwert den Differentialquotienten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Differenzenquotient ist die Steigung einer Geraden durch zwei Punkte eines Graphen. }
+ Wahr
- Falsch

{ Eine Funktion <math>f</math> beschreibt die Geschwindigkeit <math>km/h</math> eines PKWs in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math>. Der Ausdruck <math>\frac{f(t)-f(3)}{t-3} \text{ für } t \rightarrow 3</math> beschreibt die Beschleunigung des PKWs zur Zeit <math>t=3</math>.
}
+ Wahr
- Falsch

{ Der Grenzwert des Differenzenquotienten an der Stelle <math>x=0</math> für <math>x \rightarrow 0</math> beträgt <math>5</math>. Die Steigung der Tangente an der Stelle <math>x=0</math> beträgt dann ebenfalls <math>5</math>. }
+ Wahr
- Falsch

{ In dem unten abgebildeten Graphen wird die stündliche Temperatur an einem sonnigen Augusttag in Münster dargestellt. Die durchschnittliche Tagestemperatur wird durch Anwendung des Differenzialquotienten berechnet.

[[Datei:A7.JPG|rahmenlos|700px|Bild zu Diagnoseitem]]}
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Tangente schneidet einen Graphen immer an zwei Punkten. }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Ableitung einer Funktion in einem festen Punkt ist gleich der Steigung der Tangente in diesem Punkt. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wert des Differenzenquotient <math>\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}</math> entspricht der Steigung der Tangente. }
- Wahr
+ Falsch

{ Ist die Ableitung einer Funktion <math>f(x)</math> in einem Punkt gleich Null, so hat die Tangente an <math>f(x)</math> in diesem Punkt einen konstanten Wert. }
+ Wahr
- Falsch

{ Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=-3x+2</math>. Der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> dieser Funktion befindet sich für alle <math>x</math> oberhalb der x-Achse. }
- Wahr
+ Falsch

{ Eine Funktion <math>f(x)</math> besitzt an den Stellen <math>x_1=-2</math> und <math>x_2=2</math> jeweils einen Tiefpunkt. Also schneidet der Ableitungsgraph <math>f'(x)</math> die x-Achse insgesamt zweimal. }
- Wahr
+ Falsch

{ In Abbildung A ist der Graph einer Funktion <math>f(x)</math> gegeben. Die Abbildung B zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion <math>f'(x)</math>.

[[Datei:A14.JPG|rahmenlos|1000px|links: A, rechts: B]] }
+ Wahr
- Falsch

{ Die Funktion <math>h(t)</math> beschreibt die Höhe in cm einer Tomatenpflanze in Abhängigkeit von der Zeit <math>t</math> in Tagen. Dann gibt die Ableitung <math>h'(t)</math> das Wachstum der Pflanze an. }
+ Wahr
- Falsch

{ Der Wasserstand eines Sees verändert sich mit der Wetterlage. Die Funktion <math>f(x)</math> beschreibt den Wasserstand in Metern in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Stunden. Wenn es im Zeitraum <math>x_1</math> bis <math>x_2</math> dauerhaft geregnet hat, dann fällt der Graph der Ableitungsfunktion im Bereich <math>x_1</math> bis <math>x_2</math>. }
- Wahr
+ Falsch

{ Bei einem Autorennen gibt die Funktion <math>g(x)</math> die zurückgelegte Strecke eines Rennautos in Abhängigkeit von der Zeit <math>x</math> in Minuten an. Wenn ich die höchste Geschwindigkeit dieses Rennautos bestimmen soll, so berechne ich das Maximum der Funktion <math>f(x)</math>. }
- Wahr
+ Falsch

</quiz>

==Wie geht es nun weiter?==

====Du hast alle Aufgaben richtig beantwortet====

Suche dir aus den in den folgenden Abschnitten genannten Themen eines (oder mehrere) aus. Zu jedem Thema gibt es neben Förder- auch Forderaufgaben, mit denen du dich beschäftigen kannst.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 1-3 gemacht====

Schaue dir das Thema [[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]] noch einmal an.

====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 4-7 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 8-11 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 12-14 gemacht====

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====Du hast einen oder auch mehrere Fehler bei den Aufgaben 15-17 gemacht====

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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Datei:A14.JPG

2018-12-04T16:53:55Z

Elena Jedtke: User created page with UploadWizard

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{{Information
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=={{int:license-header}}==
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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

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2018-12-04T16:53:54Z

Elena Jedtke: User created page with UploadWizard

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[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Digitale Werkzeuge in der Schule

2018-10-08T15:29:47Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="1000px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="800px" valign="top">
===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Seminar "DiWerS"===

Dieses Seminar wurde für Studierende im Master of Education (Gym/Ges) an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster konzipiert, die dieses Seminar im Rahmen ihrer '''fachdidaktischen Ausbildung im Fach Mathematik''' besuchen können. Es wurde erstmalig im Wintersemester 2017/18 angeboten.

'''DiWerS ist ein Seminar...'''

...mit hohem Praxisgehalt.

...zur Förderung der Diagnosekompetenz.

...das Möglichkeiten zur individuellen Förderung durch den Einsatz digitaler Werkzeuge aufzeigt.

...in dem theoretische Grundlagen über Diagnose, Heterogenität und Aufgabengestaltung erarbeitet werden.

...in dem in Gruppen digitale Materialien entwickelt werden, die Schülerinnen und Schülern wechselnde mathematische Inhalte näher bringen.

...mit enger Verzahnung von theoretisch fachdidaktischem Wissen und schulpraktischer Erfahrung.
</td></tr></table></center>
</div>

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Es müssen nicht alle folgenden Punkte durchgearbeitet werden. Sie dienen vielmehr der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier].

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Lernpfade des DiWerS-Seminars==

<big>Hier werden die im Zuge des Seminars erstellten Lernpfade verlinkt. </big>

[[/Ableitungen üben und vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII|Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII]]

[[/Trainingsfeld Ableitungen|Trainingsfeld Ableitungen]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 17:32, 28. Sep. 2017 (CEST)

[[/Teilnehmer|Teilnehmer des Seminars]]

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen

2018-10-08T15:25:06Z

Elena Jedtke: Die Seite wurde neu angelegt: „==Hier entsteht ein Lernpfad mit den folgenden Kapiteln:== 250px Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld …“

==Hier entsteht ein Lernpfad mit den folgenden Kapiteln:==

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|rahmenlos|links|250px]]

[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate|Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate]]

[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten|Differenzen- und Differenzialquotienten verstehen und inhaltlich deuten]]

[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt|Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt]]

[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Graphisches Ableiten|Graphisches Ableiten]]

[[Digitale Werkzeuge in der Schule/Trainingsfeld Ableitungen/Die Ableitung im Sachkontext|Die Ableitung im Sachkontext]]

Erstellt von: [[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]])

Digitale Werkzeuge in der Schule

2018-10-08T11:47:00Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="1000px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="800px" valign="top">
===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Seminar "DiWerS"===

Dieses Seminar wurde für Studierende im Master of Education (Gym/Ges) an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster konzipiert, die dieses Seminar im Rahmen ihrer '''fachdidaktischen Ausbildung im Fach Mathematik''' besuchen können. Es wurde erstmalig im Wintersemester 2017/18 angeboten.

'''DiWerS ist ein Seminar...'''

...mit hohem Praxisgehalt.

...zur Förderung der Diagnosekompetenz.

...das Möglichkeiten zur individuellen Förderung durch den Einsatz digitaler Werkzeuge aufzeigt.

...in dem theoretische Grundlagen über Diagnose, Heterogenität und Aufgabengestaltung erarbeitet werden.

...in dem in Gruppen digitale Materialien entwickelt werden, die Schülerinnen und Schülern wechselnde mathematische Inhalte näher bringen.

...mit enger Verzahnung von theoretisch fachdidaktischem Wissen und schulpraktischer Erfahrung.
</td></tr></table></center>
</div>

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Es müssen nicht alle folgenden Punkte durchgearbeitet werden. Sie dienen vielmehr der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier].

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Lernpfade des DiWerS-Seminars==

<big>Hier werden die im Zuge des Seminars erstellten Lernpfade verlinkt. </big>

[[/Ableitungen üben und vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII|Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 17:32, 28. Sep. 2017 (CEST)

[[/Teilnehmer|Teilnehmer des Seminars]]

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Digitale Werkzeuge in der Schule

2018-09-13T08:43:55Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="1000px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="800px" valign="top">
===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Seminar "DiWerS"===

Dieses Seminar wurde für Studierende im Master of Education (Gym/Ges) an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster konzipiert, die dieses Seminar im Rahmen ihrer '''fachdidaktischen Ausbildung im Fach Mathematik''' besuchen können. Es wurde erstmalig im Wintersemester 2017/18 angeboten.

'''DiWerS ist ein Seminar...'''

...mit hohem Praxisgehalt.

...zur Förderung der Diagnosekompetenz.

...das Möglichkeiten zur individuellen Förderung durch den Einsatz digitaler Werkzeuge aufzeigt.

...in dem theoretische Grundlagen über Diagnose, Heterogenität und Aufgabengestaltung erarbeitet werden.

...in dem in Gruppen digitale Materialien entwickelt werden, die Schülerinnen und Schülern die Differentialrechnung bzw. den Umgang mit Funktionen näher bringen.

...mit enger Verzahnung von theoretisch fachdidaktischem Wissen und schulpraktischer Erfahrung.
</td></tr></table></center>
</div>

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Es müssen nicht alle folgenden Punkte durchgearbeitet werden. Sie dienen vielmehr der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier].

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Lernpfade des DiWerS-Seminars==

<big>Hier werden die im Zuge des Seminars erstellten Lernpfade verlinkt. </big>

[[/Ableitungen üben und vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII|Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 17:32, 28. Sep. 2017 (CEST)

[[/Teilnehmer|Teilnehmer des Seminars]]

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Lineare Funktionen

2018-06-12T11:05:53Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;">
<center>
<table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen vertiefen und dieses anwenden.
In Aufgabe 1-5 wiederholst du dabei noch einmal, wie lineare Funktionsgleichungen aufgestellt werden und wie man einen Graphen skizziert. Außerdem kannst du dich in Aufgabe 3 noch einmal mit Wertetabellen zu linearen Zuordnungen beschäftigen.
Die Aufgaben 6 und 7 bieten dir die Möglichkeit, das Gelernte im Sachkontext anzuwenden.
</td></tr></table>
</center>
</div>
<br\>
<br\>
==Lineare Funktionen im Überblick==
{{Aufgaben |1|Fülle folgenden Lückentext aus, indem du auf die leeren Felder klickst und die richtige Antwort auswählst
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psyihr4k518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">Bitte benutze Kopfhöhrer.<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/blY2qdFV4ag" frameborder="0" allow="autoplay; encrypted-media" allowfullscreen></iframe>
</popup>
<popup Name="Lösung">Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert jeweils nur einen y-Wert zuordnet. Der y-Wert wird Funktionswert an der Stelle x genannt. Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen der Form y=mx+n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt angibt. Sind zwei Punkte angegeben, kann man den Differenzenquotienten nutzen, um die Steigung zu bestimmen. Das n berechnet man anschließend durch Einsetzen eines Punktes. Bei Graphen von linearen Funktionen kann nicht nur der y-Achsenabschnitt bestimmt werden, sondern auch der Schnittpunkt mit der x-Achse. Diesen nennen wir Nullstelle.
Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.</popup>}}
<br\><br\>

==Vom Graphen zur Funktionsgleichung==
{{Aufgaben|2|Ordne den folgenden Graphen die entsprechenden Funktionsgleichungen zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander legst.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p781tjunn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup Name="Tipp 1">Lies am Graphen die Steigung und den y-Achsenabschnitt ab.</popup>
<popup Name="Tipp 2">f(x)=mx+n <br />m gibt die Steigung der Funktion an. Diese kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks bestimmen.<br />
n gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.</popup>}}
<br\><br\>

==Wertetabellen und lineare Funktionen==
{{Aufgaben|3|Bestimme anhand der Tabellen die zugehörigen Funktionsgleichungen und tippe sie in die grauen Felder ein.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p3p1uf86j18" style="border:0px;width:100%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp 1">Lies den y-Achsenabschnitt n an der Stelle x=0 ab.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Steigung m gibt an, wie weit sich die Funktion in y-Richtung verändert, wenn der x-Wert um eine Einheit steigt.</popup>
<popup Name="Tipp 3">Alternativ kannst du auch die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen.</popup>
<popup Name="Lösung">f(x)= 2x+1<br /> g(x)=1,5x+2,5<br/>
Den y-Achsenabschnitt kannst du in der Tabelle bei x=0 ablesen. Bei f(x) ist dies das Wertepaar (0/1), weshalb n=1 ist. Die Steigung kannst du ablesen, indem du beispielsweise die Differenz der y-Werte der Punkte (0/1) und (1/3) bestimmst. Man sieht schnell, dass der y-Wert immer um 2 nach oben geht, wenn x um eine Einheit steigt.<br/>
Bei g(x) musst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Man sieht leicht, dass sich der y-Wert immer um 1,5 erhöht, wenn x um eine Einheit steigt. Deshalb kann man vom Wertepaar (1/4) ausgehend den y-Achsenabschnitt berechnen, indem man 4-1,5 rechnet.<br/>
Alternativ kannst du die Aufgabe auch grafisch lösen, indem du beispielsweise bei f(x) die Punkte (-1/-1), (0/1) und (1/3) in ein Koordinatensystem einträgst, zu einer Geraden verbindest und das Steigungsdreieck einzeichnest.<br/> [[Datei:Aufgabe 3 Bild 1.PNG|links|rahmenlos|500px]]
</popup>}}
<br\><br\>

==Schnittpunkt zweier Geraden==
{{Aufgaben|4|Bestimme die Schnittpunkte von zwei Geraden zuerst zeichnerisch und dann rechnerisch in deinem Heft.

'''a)''' <math>f(x)=-0,5x+2,5</math> und <math>g(x)=4x-11</math>

'''b)''' <math>f(x)=0,5x</math> und <math>g(x)=x-1,5</math>
<popup Name="Tipp 1">Für den rechnerischen Weg: Gesucht ist ein Punkt (x/y), der gleichzeitig beide Funktionsvorschriften erfüllt.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Um diesen Punkt zu finden, kann man zum Beispiel beide Funktionsvorschriften gleichsetzen.</popup>
<popup Name="Lösung"> a) <math> -0,5x+2,5=4x-11 </math> Rechne beidseits +11 und +0,5x. <br\>
<math>13,5=4,5x </math> Teilen durch 4,5 liefert <br\>
<math>3=x </math>
<br\>
Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in g(x) liefert:<br\>
<math>y=4*3-11=1 </math><br\>
Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1).<br\>
Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1) ablesen:
[[Datei:Schnittpunkt zweier Funktionen zeichnerisch bestimmen.png|links|500px]]<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
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<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
b) <math> 0,5x=x-1,5 </math> Rechne beidseits -x. <br\>
<math>-0,5x=-1,5 </math> Teilen durch -0,5 liefert <br\>
<math>3=x </math>
<br\>
Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in f(x) liefert:<br\>
<math>y=0,5*3=1,5 </math><br\>
Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1,5).<br\>
Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1,5) ablesen:

[[Datei:Schnittpunkt 2.PNG|links|500px|f(x)=0,5x und g(x)=x-1,5]]</popup>}}
<br \>
<br\>

==Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte==
{{Aufgaben|5|Betrachte die drei Geraden f,g und h, die jeweils durch die angegebenen Punkte verlaufen.

'''1)''' Gerade f verläuft durch <math>P(-2|1)</math> und <math>Q(3|6)</math>.

'''2)''' Gerade g durch <math>P(3|-4)</math> und <math>Q(5|-1)</math>.

'''3)''' Gerade h durch <math>P(2|12)</math> und <math>Q(0|2)</math>.

Notiere die Rechnungen und Antworten der folgenden Aufgaben in deinem Heft: <br\>
a) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen. <br\>
b) Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen. <br\>
c) Bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen. <br\>
d) Warum ist eine lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte eindeutig bestimmt? <br\>

<popup Name="Tipp 1">Nutze den Differenzenquotienten um die Steigung zu berechnen.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Differenzenquotient: <math> m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}</popup>
<popup Name="Tipp 3">Um n zu berechnen, setze einen Punkt in die Funktionsgleichung ein.</popup>
<popup Name="Tipp 4">Für die Nullstelle überlege dir, welche y-Koordinate Nullstellen haben.</popup>
<popup Name="Tipp 5">Für die Nullstelle setze die Funktionsgleichung gleich 0.</popup>
<popup Name="Tipp 6">Bei Teilaufgabe c) soll y=12 sein.</popup>

<popup Name="Lösung">{|
! style="width:2.5em" |
! style="width:15em" |
! style="width:15em" |
|-
|'''1)'''
| <math>f(x)=x+3</math>
| Nullstelle: <math>x=-3</math>
| an der Stelle <math>x=9</math>
|-
|'''2)'''
| <math>f(x)=\frac{3}{2}x-8,5</math>
| Nullstelle: <math>x=5\frac{2}{3}</math>
| an der Stelle <math>x=13\frac{2}{3}</math>
|-
|'''3)'''
| <math>f(x)=5x+2</math>
| Nullstelle: <math>x=-0,4</math>
| an der Stelle <math>x=2</math>
|}

Ausführliche Lösung: <br\>
a) 1) Steigung: <math> m=\frac{6-1}{3-(-2)}=\frac{5}{5}=1</math> <br\>
Für n setzen wir den Punkt Q in <math>f(x)= 1*x + n </math> ein und erhalten: <math> 6=3+n </math> und somit ist <math>n=3</math>. <br\>
--> f(x)= x+3 <br\>
<br\>
2) Steigung: <math> m=\frac{-1-(-4)}{5-3}=\frac{3}{2}</math> <br\>
n berechnen: Einsetzen von P in <math> g(x)= \frac{3}{2}*x + n </math> führt zu <br\>
<math> -4=\frac{3}{2}*3+n </math> <br\>
<math> -4=4,5+n </math> <br\>
<math> -9,5=n </math> <br\>
--> g(x)=1,5x-9,5 <br\>
<br\>
3) Steigung: <math> m= \frac{12-2}{2-0}=\frac{10}{2}=5 </math> <br\>
n berechnen: Einsetzen von Q in <math>h(x)= 5*x + n </math> führt zu <br\>
<math> 2=5*0+n </math> <br\>
<math> 2=n </math> <br\>
--> h(x)=5x+2<br\>
<br\>
<br\>
<br\>
b) 1) <math>f(x)=0 </math> <br\>
<math> x+3=0 </math><br\>
<math> x=-3 </math><br\>
<br\>
2) <math> g(x)=0 </math><br\>
<math> 1,5x-9,5=0 </math><br\>
<math>1,5x=9,5</math><br\>
<math>x=5\frac{2}{3}</math><br\>
<br\>
3) <math>h(x)=0</math><br\>
<math>5x+2=0</math><br\>
<math>5x=-2</math><br\>
<math>x=-0,4</math><br\>
<br\>
<br\><br\>
c) 1)<math>f(x)=12 </math><br\>
<math> x+3=12 </math><br\>
<math> x=9 </math><br\>
<br\>
2)<math> g(x)=12 </math><br\>
<math> 1,5x-9,5=12 </math><br\>
<math>1,5x=21,5</math><br\>
<math>x=13\frac{2}{3}</math><br\>
<br\>
3) <math>h(x)=12</math><br\>
<math>5x+2=12</math><br\>
<math>5x=10</math><br\>
<math>x=2</math><br\>
<br\>
<br\>
d) Weil sie überall die gleiche Steigung hat, welche wir mit dem Differenzenquotienten bestimmt haben.
</popup>
}}<br\><br\>

==Textaufgaben==
{{Aufgaben|6|Eine 15cm lange Kerze A braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze B ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab.

'''a)''' Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf, mit der man die Kerzenhöhe nach x Stunden berechnen kann und zeichne einen Graphen.
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her, mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst.</popup>
'''b)'''Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden?
<popup Name="Tipp">Setze in beiden Gleichungen den Gesuchten x-Wert ein.</popup>
'''c)''' Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie vielen Stunden sind die Kerzen gleich hoch?<br \>
Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle. <br \>

<popup Name="Tipp 1">Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Wertetabelle: Erstelle zwei Wertetabellen und lies den x-Wert ab, an dem die beiden Kerzen den gleichen y-Wert (Kerzenhöhe) haben.</popup>
'''d)''' Vergleiche die drei Methoden, aus dem Aufgabenteil c) und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben.

<popup Name="Lösung">{|

'''a)''' Kerze A: <math>f(x)=-1,5x+15</math> <br/> Kerze B: <math>g(x)=-2,5x+20</math><br/>
Möglicher Lösungsweg zum Aufstellen der Gleichung am Beispiel Kerze A (Für Kerze B erfolgt der Rechenweg analog.)<br/>
Wir entnehmen dem Text, dass die Kerze am Anfang 15 cm hoch ist. Daraus können wir folgern, dass zum Zeitpunkt x=0 der Funktionswert bei 15 liegen muss. Dadurch erhalten wir auch den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit unser n. <br/>
Weiterhin wissen wir, das die Kerze Nach 10 Stunden komplett abgebrannt ist. Daraus folgern wir, dass bei x=10 der Funktionswert 0 ist. Mit den beiden Punkten (0/15) und (10/0) können wir eine Gerade in dem Koordinatensystem zeichnen und können dann so die Steigung ablesen. Alternativ berechnen wir mit den beiden Werten das Steigungsdreieck und damit die Steigung.
[[Datei:Kerzen.PNG|rahmenlos|left|500px]]<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>

'''b)''' Kerze A: f(3)= -1,5*3+15=10,5cm ; Kerze B: g(3)=-2,5*3+20=12,5cm<br/>

'''c)''' <math>f(x)=g(x) </math> <br/> <math>-1,5x+15=-2,5x+20 </math> <br/> <math>x=5 </math> <br/>
Nach 5 Stunden sind sie gleich lang.
[[Datei:Kerzen Wertetabellen.PNG|rahmenlos|left]]<br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/><br/>
'''d)''' '''Zeichnerische Lösung''' <br/>
Vorteile:<br/>
Durch die Linearität braucht man von beiden Kerzen nur jeweils zwei Punkte einzeichnen und kann diese mit dem Lineal weiterziehen, auf diese Weise sieht man schnell den Schnittpunkt der beiden Linien.<br/>
Nachteile:<br/>
Wenn man ungenau zeichnet kann bekommt man eine Falsche Lösung.<br/>
Wenn der Maßstab ungeschickt gewählt wurde, kann man die Lösung nicht genau ablesen.<br/>
<br/>
'''Rechnerische Lösung'''<br/>
Vorteile:<br/>
Man bekommt eine exakte Lösung</br>
Man berechnet keine "unwichtigen" Werte. <br/>
Nachteile: <br/>
Wenn man unsicher beim Umstellen von Gleichungen ist, ist diese Variante auch sehr fehleranfällig. <br/>
Im Gegensatz zur zeichnerischen Lösung ist die rechnerische nicht ganz so "ansehnlich".<br/>
<br/>
'''Wertetabelle'''<br/>
Vorteile:<br/>
Nicht so sehr fehleranfällig wie die anderen beiden Lösungswege.<br/>
Nachteile:<br/>
Wenn man Pech hat, berechnet man viele Werte, die man nicht braucht, bevor man die richtige Lösung findet. <br/>
Falls man bei den x-Werten zu große Schritte wählt, kann es passieren, dass man die richtige Lösung überspringt und somit keine Lösung findet.<br/>
</popup>
}}
<br\>
{{Aufgaben|7|Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm

'''a)''' Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion?<br/>
'''b)''' Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an.
<popup Name="Tipp">Leite aus dem Text zwei Punkte her und stelle die Funktionsgleichung auf</popup>

'''c)''' Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist.
<popup Name="Tipp">Setze die Funktionsgleichung gleich null.</popup>

'''d)''' Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm?
<popup Name="Tipp 1">Überlege dir, ob die Wasserhöhe ein x-Wert oder ein y-Wert ist.</popup>
<popup Name="Tipp 2">Setze die Funktionsgleichung gleich 51 und löse nach x auf.</popup>

'''e)''' Schau dir die Aufgabenteile c) und d) nochmal genauer an. Kannst du dein Vorgehen begründen?

<popup Name="Lösung">{|
! style="width:2.5em" |
! style="width:30em" |
|-
|'''a)'''
| Der Satzbaustein "gleichmäßig abgelassen" signalisiert uns, dass es linear ist (Zu jedem Zeitpunkt verlieren wir die gleiche Menge an Wasser, die "Steigung" ist also überall gleich.
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|

|-
|'''b)'''
| <math> f(x)=-\frac{4}{3}x+83</math>
[[Datei:Regentonne.PNG|rahmenlos|left|500px]]
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|'''c)'''
|Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b gleich 0.<br/>
<math> -\frac{4}{3}x+83=0</math>
<br\> Anschließend Stellen wir die Funktion nach X um. <br/><math> x=62,25</math>
<br\> Nach 62 Minuten und 15 Sekunden ist das Wasser vollständig abgelaufen.
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|
|-
|'''d)'''
| Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b) gleich 51.<br/>
<math> -\frac{4}{3}x+83=51</math><br/>
Anschließend stellen wir die Funktion nach x um.
<br\> <math> x=24</math>
<br\> Nach 24 Minuten ist ein Wasserstand von 51 cm erreicht.
|}</popup>}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII

2018-06-11T13:11:43Z

Elena Jedtke:

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-06-11T12:44:26Z

Elena Jedtke: Größe des Applets bei Aufg. 7 angepasst

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div>
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />

{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup>}}

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:''
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:70%;height:900px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math>
</div>

{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">
<math>f(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>}}

<math>g(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=
<math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>}}

<math>h(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=
<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>}}
</popup>}}

== Anwendungsaufgabe "Rakete" ==
{{Aufgaben|10 Rakete|Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion <br><math>f(x)=-0.2x^2+8x+18</math> <br> aufgestellt. Dabei entspricht <math>x</math> der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und <math>f(x)</math> der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.<br /><br />

a) Berechne <math>f(0)</math> und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.<br />
<popup name="Tipp"> Lies noch einmal nach, was <math>x</math> und <math>f(x)</math> angeben. Was bedeutet es, wenn <math>x=0</math> ist? </popup><br />

b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft. <br />
<popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert <math>f(x)</math> annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup>
<popup name="Tipp 2"> Setze <math>f(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup>
<popup name="Tipp 3"> '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung <math>0=x^2+px+q</math> liefert die p-q-Formel die Lösungen<br />
<math>
x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}
</math>.<br> Denke daran, dass dabei vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.<br>
</popup><br />

c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?<br />
<popup name="Tipp 1"> Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann. </popup>
<popup name="Tipp 2"> Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach. </popup><br />

d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
<popup name="Tipp 1"> Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes <math> S(10\mid120)</math> und des Punktes <math>P(0\mid18)</math> auf.</popup>
<popup name="Tipp 2"> Gehe wie in Aufgabe 4 vor. </popup><br />

Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
<popup name="Tipp"> Gesucht sind die x-Werte, für die <math>f(x)=30</math> ist. </popup>

<popup name="Lösung">
a)
{{Lösung versteckt mit Rand|
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0.2 \cdot 0^2+8 \cdot 0+18 \\
&=& 18
\end{array}
</math> <br> Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch. }}
<br>
b)
{{Lösung versteckt mit Rand|
Nullstellenberechnung:<br />
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\
&=& x^2-40x-90
\end{array}
</math><br />
Im zweiten Schritt benutzen wir die '''p-q-Formel''', um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.<br />
<math> \Rightarrow p=-40, q=-90 </math> <br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -(-90)} \\
&=& 20 \pm 22.14 \\
\end{array}
</math><br />
<math>
\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 </math> und <math> x_2=-22.14+20=-2.14
</math><br />
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.}}
c)
{{Lösung versteckt mit Rand|
Umwandeln in die Scheitelpunktform: <br />
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\
&=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\
&=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\
&=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\
&=& -0.2 (x-20)^2+98
\end{array}
</math><br />
Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(20\mid 98)</math>, die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht. }}
d)
{{Lösung versteckt mit Rand|
Scheitelpunkt einsetzen:<br />
<math>f(x)=a(x-10)^2+120</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse <math>P(0\mid18)</math> einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>
\begin{array}{rlll}
f(0)&=&18 \\
a(0-10)^2+120&=&18 \\
100a+120&=&18 &\mid -120 \\
a&=&-1.02
\end{array}
</math><br />
a einsetzen:<br />
<math>\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120</math>
}}
Zusatzaufgabe:
{{Lösung versteckt mit Rand|
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen <math>f(x)=30</math> berechnen. <br>
<math>30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 </math> <br />
<math>\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 </math><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0.2x^2+8x-12 & \mid :(-0.2) \\
&=& x^2-40x+60
\end{array}
</math><br />
<math> \Rightarrow p=-40, q=60</math> <br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -60} \\
&=& 20 \pm 18.44 \\
\end{array}
</math><br>

<math>
\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 </math> und <math> x_2=-18.44+20=1.56</math><br />
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
}}

</popup>}}

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Lineare Funktionen

2018-06-08T10:29:57Z

Elena Jedtke: Größe des Applets bei Aufg. 3 angepasst

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-05-29T08:01:54Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div>
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />

{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup><br />
<br />

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:''
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math>
</div>

{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">
<math>f(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>}}

<math>g(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=
<math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>}}

<math>h(x):</math>
{{Lösung versteckt mit Rand|1=
<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>}}
</popup>

== Anwendungsaufgabe "Turm" ==
{{Aufgaben|8 Turm|Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung <br><math>f(x)=-0.08x^2-0.8x+15</math> <br>beschrieben werden ( x und f(x) in Metern). <br> Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen: <br>
1. Wie hoch ist der Turm? <br>
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt. <br>
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?}}

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\
&=& 15
\end{array}
</math> <br> Der Turm ist 15m hoch.

</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17
\end{array}
</math>
<br />
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)<br>
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:<br />
''Lösungsweg 1'': Lösen mit der pq-Formel:<br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0&=&f(x)& \\
&=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\
&=&x^2-10x-187,5 & \\
\end{array}

</math> <br><br>
<math> \Rightarrow p=-10, q=-187,5 </math> <br><br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\
&=& 5 \pm 14.58 \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math>

''Lösungsweg 2'': Lösen mit der Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\
&=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\
212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\
\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\
\pm 14.58+5 &=& x & \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math><br>
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-05-29T07:58:27Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div>
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />

{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup><br />
<br />

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:''
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math>
</div>

{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">

{{Lösung versteckt mit Rand|1=<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>}}
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>
</popup>

== Anwendungsaufgabe "Turm" ==
{{Aufgaben|8 Turm|Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung <br><math>f(x)=-0.08x^2-0.8x+15</math> <br>beschrieben werden ( x und f(x) in Metern). <br> Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen: <br>
1. Wie hoch ist der Turm? <br>
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt. <br>
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?}}

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\
&=& 15
\end{array}
</math> <br> Der Turm ist 15m hoch.

</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17
\end{array}
</math>
<br />
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)<br>
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:<br />
''Lösungsweg 1'': Lösen mit der pq-Formel:<br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0&=&f(x)& \\
&=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\
&=&x^2-10x-187,5 & \\
\end{array}

</math> <br><br>
<math> \Rightarrow p=-10, q=-187,5 </math> <br><br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\
&=& 5 \pm 14.58 \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math>

''Lösungsweg 2'': Lösen mit der Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\
&=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\
212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\
\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\
\pm 14.58+5 &=& x & \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math><br>
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-05-29T07:56:11Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div>
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />

{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup><br />
<br />

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:''
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math>
</div>

{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">

<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>

<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>
</popup>

== Anwendungsaufgabe "Turm" ==
{{Aufgaben|8 Turm|Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung <br><math>f(x)=-0.08x^2-0.8x+15</math> <br>beschrieben werden ( x und f(x) in Metern). <br> Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen: <br>
1. Wie hoch ist der Turm? <br>
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt. <br>
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?}}

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\
&=& 15
\end{array}
</math> <br> Der Turm ist 15m hoch.

</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17
\end{array}
</math>
<br />
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)<br>
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:<br />
''Lösungsweg 1'': Lösen mit der pq-Formel:<br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0&=&f(x)& \\
&=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\
&=&x^2-10x-187,5 & \\
\end{array}

</math> <br><br>
<math> \Rightarrow p=-10, q=-187,5 </math> <br><br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\
&=& 5 \pm 14.58 \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math>

''Lösungsweg 2'': Lösen mit der Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\
&=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\
212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\
\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\
\pm 14.58+5 &=& x & \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math><br>
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-05-29T07:41:19Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top">
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div>
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden|
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />

{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5 \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math> <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup><br />
<br />

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:''
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:'' <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}}
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math>
</div>

{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">
<popup name="f(x)">
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>

<popup name="g(x)"><math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>

<popup name="h(x)">
<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>
</popup>

== Anwendungsaufgabe "Turm" ==
{{Aufgaben|8 Turm|Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung <br><math>f(x)=-0.08x^2-0.8x+15</math> <br>beschrieben werden ( x und f(x) in Metern). <br> Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen: <br>
1. Wie hoch ist der Turm? <br>
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt. <br>
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?}}

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\
&=& 15
\end{array}
</math> <br> Der Turm ist 15m hoch.

</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17
\end{array}
</math>
<br />
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)<br>
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:<br />
''Lösungsweg 1'': Lösen mit der pq-Formel:<br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0&=&f(x)& \\
&=&-0,08x^2+0,8x+15 & \mid :-0,08 \\
&=&x^2-10x-187,5 & \\
\end{array}

</math> <br><br>
<math> \Rightarrow p=-10, q=-187,5 </math> <br><br>

<math>
\begin{array}{rll}
x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\
&=& 5 \pm 14.58 \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math>

''Lösungsweg 2'': Lösen mit der Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\
&=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\
212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\
\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\
\pm 14.58+5 &=& x & \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math> x_2=-14.58+5=-9.58
</math><br>
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>

Digitale Werkzeuge in der Schule

2018-04-10T07:56:21Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="1000px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="800px" valign="top">
===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Seminar "DiWerS"===

Dieses Seminar wurde für Studierende im Master of Education (Gym/Ges) an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster konzipiert, die dieses Seminar im Rahmen ihrer '''fachdidaktischen Ausbildung im Fach Mathematik''' besuchen können. Es wird im Wintersemester 2017/18 erstmalig angeboten.

'''DiWerS ist ein Seminar...'''

...mit hohem Praxisgehalt.

...zur Förderung der Diagnosekompetenz.

...das Möglichkeiten zur individuellen Förderung durch den Einsatz digitaler Werkzeuge aufzeigt.

...in dem theoretische Grundlagen über Diagnose, Heterogenität und Aufgabengestaltung erarbeitet werden.

...in dem in Gruppen digitale Materialien entwickelt werden, die Schülerinnen und Schülern die Differentialrechnung bzw. den Umgang mit Funktionen näher bringen.

...mit enger Verzahnung von theoretisch fachdidaktischem Wissen und schulpraktischer Erfahrung.
</td></tr></table></center>
</div>

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Es müssen nicht alle folgenden Punkte durchgearbeitet werden. Sie dienen vielmehr der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier].

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Lernpfade des DiWerS-Seminars==

<big>Hier werden die im Zuge des Seminars erstellten Lernpfade verlinkt. </big>

[[/Ableitungen üben und vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII|Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 17:32, 28. Sep. 2017 (CEST)

[[/Teilnehmer|Teilnehmer des Seminars]]

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Benutzer:OI Workshop3/Workshop Digitale Lernpfade

2018-04-07T12:33:06Z

Elena Jedtke: Elena Jedtke verschob Seite Workshop Digitale Lernpfade nach Benutzer:OI Workshop3/Workshop Digitale Lernpfade

== Spielwiese ==
=== Schreiben mit Wiki ===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben. <span style="color: blue">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar</popup>

=== '''Vorlagen''' ===

{{Aufgabe|Zeichne zwei verschiedene Dreiecke mit dem Flächeninhalt 12 cm².}}

{{Aufgaben|2|Inhalt}}

{{Übung|Umrechnen von Flächeneinheiten}}

===Ende===

Workshop Digitale Lernpfade

2018-04-07T12:33:06Z

Elena Jedtke: Elena Jedtke verschob Seite Workshop Digitale Lernpfade nach Benutzer:OI Workshop3/Workshop Digitale Lernpfade

#WEITERLEITUNG [[Benutzer:OI Workshop3/Workshop Digitale Lernpfade]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII

2018-04-07T12:28:26Z

Elena Jedtke:

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Lineare Funktionen|Lineare Funktionen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen|Quadratische Funktionen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen|Terme und Gleichungen]]

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|200px]]

Digitale Werkzeuge in der Schule

2018-04-07T11:06:53Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="1000px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="800px" valign="top">
===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Seminar "DiWerS"===

Dieses Seminar wurde für Studierende im Master of Education (Gym/Ges) an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster konzipiert, die dieses Seminar im Rahmen ihrer '''fachdidaktischen Ausbildung im Fach Mathematik''' besuchen können. Es wird im Wintersemester 2017/18 erstmalig angeboten.

'''DiWerS ist ein Seminar...'''

...mit hohem Praxisgehalt.

...zur Förderung der Diagnosekompetenz.

...das Möglichkeiten zur individuellen Förderung durch den Einsatz digitaler Werkzeuge aufzeigt.

...in dem theoretische Grundlagen über Diagnose, Heterogenität und Aufgabengestaltung erarbeitet werden.

...in dem in Gruppen digitale Materialien entwickelt werden, die Schülerinnen und Schülern die Differentialrechnung näher bringen.

...mit enger Verzahnung von theoretisch fachdidaktischem Wissen und schulpraktischer Erfahrung.
</td></tr></table></center>
</div>

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Es müssen nicht alle folgenden Punkte durchgearbeitet werden. Sie dienen vielmehr der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier].

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Lernpfade des DiWerS-Seminars==

<big>Hier werden die im Zuge des Seminars erstellten Lernpfade verlinkt. </big>

[[/Ableitungen üben und vertiefen|Ableitungen üben und vertiefen]]

[[DiWerS/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII|Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 17:32, 28. Sep. 2017 (CEST)

[[/Teilnehmer|Teilnehmer des Seminars]]

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Terme und Gleichungen

2018-04-07T11:05:14Z

Elena Jedtke: Die Seite wurde neu angelegt: „200px“

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|200px]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Quadratische Funktionen

2018-04-07T11:04:37Z

Elena Jedtke: Die Seite wurde neu angelegt: „200px“

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|200px]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII/Lineare Funktionen

2018-04-07T11:03:50Z

Elena Jedtke: Die Seite wurde neu angelegt: „200px“

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|200px]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Funktioniert's? Übergang von der SI zur SII

2018-04-07T11:01:38Z

Elena Jedtke: Wird demnächst mit Inhalt gefüllt

[[Datei:Bauarbeiter.jpg|200px]]

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-13T17:53:21Z

Elena Jedtke:

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben.

<span style="color: red">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar.</popup>

===Vorlagen===

{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

{{Übung|Inhalt}}

{{Merke|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==

===Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform===
<big>(Inhalte aus dem Lernpfad [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden])</big>

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px]]

{{Merke|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>. }}

{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2x^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-13T08:34:26Z

Elena Jedtke:

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben.

<span style="color: red">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar.</popup>

===Vorlagen===

{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

{{Übung|Inhalt}}

{{Merke|Merksatz}}
{{Merke-M|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==

===Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform===
<big>(Inhalte aus dem Lernpfad [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden])</big>

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px]]

{{Merke|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>. }}

{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2x^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Workshop: Digitale Lernpfade

2018-03-12T19:09:21Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="850px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="1000px" valign="top">

<big>'''Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Workshop: "Digitale Lernpfade: Eine praxisorientierte Einführung am Beispiel eines Lernpfads zu quadratischen Funktionen"'''</big>

Dieser Workshop findet im Rahmen der Lehrerfortbildung [http://www.mathematikunterricht-konkret.de/ Mathematikunterricht digital] am 14.03.2018 an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster statt.

Das digitale Medium Lernpfad wird im Rahmen des Workshops praxisorientiert vorgestellt. Bei Lernpfaden handelt sich um Online-Lernumgebungen, die kostenlos und ohne viele Vorkenntnisse erstellt werden können. Der Workshop zeigt zunächst Grundüberlegungen und Praxisbeispiele zu Lernpfaden auf, wie sie auf den Plattformen der Zentrale für Unterrichtsmedien e.V. (ZUM) zu finden sind. Dabei gibt es insbesondere einen Einblick in einen Lernpfad zu quadratischen Funktionen. Kombiniert wird dies mit einer praxisorientierten Phase, in der die Erstellung solcher Lernpfade erprobt werden kann.

</td></tr></table></center>
</div>

==Beispiel: Lernpfad "Quadratische Funktionen erkunden"==

[https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Hier geht's zum Lernpfad]

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Die im Folgenden aufgeführten Punkte dienen der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier]. [Achtung: Nicht alle Vorlagen funktionieren im Projektwiki.]

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

==Im Rahmen des Workshops entstehende Lernpfadseite:==

[[Benutzer:Elena_Jedtke/Workshop_Lernpfad|Beispielhaftes Ergebnis]]

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 15:59, 12. Mär. 2018 (CET)

Benutzer:Elena Jedtke

2018-03-12T19:04:26Z

Elena Jedtke:

===Über mich:===

Ich habe Mathematik und Chemie für das Lehramt an Gymnasien und Gesamtschulen studiert. Aktuell promoviere ich an der Universität Münster am [https://www.uni-muenster.de/IDMI/arbeitsgruppen/ag-greefrath/mitarbeiter/jedtke.shtml Institut für Didaktik der Mathematik und der Informatik].

===Meine Interessen:===

Neben der Erstellung und Erprobung eines Lernpfads im ZUM-Wiki ([https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden]), gebe ich ein Seminar zu [[Digitale Werkzeuge in der Schule|Digitalen Werkzeugen in der Schule]]. Im Laufe des Seminars entwerfen und testen Studierende eigene Lernpfade zu einem vorgegebenen Themenbereich.

Im Rahmen der Lehrerfortbildung [http://www.mathematikunterricht-konkret.de Mathematikunterricht digital] am 14.03.2018 an der WWU Münster gebe ich einen Workshop mit dem Titel "Digitale Lernpfade", zu dem [[Workshop: Digitale Lernpfade|hier]] ebenfalls ein Projektwiki entsteht.

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-12T18:38:58Z

Elena Jedtke:

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben.

<span style="color: red">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar.</popup>

===Vorlagen===

{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

{{Übung|Inhalt}}

{{Merke|Merksatz}}
{{Merke-M|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==

===Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform===
<big>(Inhalte aus dem Lernpfad [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden])</big>

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px]]

{{Merke|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>. }}

{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2Wx^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-12T18:24:17Z

Elena Jedtke:

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben.

<span style="color: red">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar.</popup>

===Vorlagen===

{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

{{Übung|Inhalt}}

{{Merke|Merksatz}}
{{Merke-M|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==

===Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform===
<big>(Inhalte aus dem Lernpfad [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden])</big>

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px]]

{{Merke|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>. }}

{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2Wx^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:60%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-12T18:14:17Z

Elena Jedtke:

==Spielwiese==

===Schreiben im Wiki===

Neben normalem Text kann man auch ''kursiven'' oder '''fett gedruckten Text''' schreiben.

<span style="color: red">Ebenso sind andere Farben möglich, um etwas hervorzuheben.</span>

<popup name="Versteckte Hinweise und Lösungen">Ganz einfach per Mausklick aktivierbar.</popup>

===Aufgaben===
{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

===Übung===
{{Übung|Inhalt}}

===Merksätze===
{{Merke|Merksatz}}
{{Merke-M|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==

===Quadratische Funktionen in Scheitelpunktform===
<big>(Inhalte aus dem Lernpfad [https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Quadratische Funktionen erkunden])</big>

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px]]

{{Merke|Terme quadratischer Funktionen können in der Form <math>y=a(x-d)^2+e</math> angegeben werden (wobei a ≠ 0). Diese Darstellungsform nennt man '''Scheitelpunktform''', da sich direkt aus dem Term der Scheitelpunkt ablesen lässt. Er hat die Koordinaten <math>S(d/e)</math>. }}

{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2Wx^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:60%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Benutzer:Elena Jedtke/Workshop Lernpfad

2018-03-12T18:02:08Z

Elena Jedtke: Workshop-Übung

==Erste Schritte==

===Aufgaben===
{{Aufgabe|Inhalt}}
{{Aufgaben|1|Inhalt}}
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Inhalt}}

===Übung===
{{Übung|Inhalt}}

===Merksätze===
{{Merke|Merksatz}}
{{Merke-M|Merksatz}}

===Dateien===
[[Datei:Video-Basketballwurf.gif|200px|links]]

[[Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg|500px|rechts]]
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===Interaktive Applets===

<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:50%;height:250px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<iframe scrolling="no" title="Modellierung mithilfe quadratischer Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/width/895/height/610/border/888888/" width="500px" height="300px" style="border:0px;"> </iframe>

==Kombinationen==
{{Aufgaben|"Der Parameter a"|Was passiert, wenn man statt der Funktion <math>y=x^2</math> folgenden Funktionen gegeben hat:

::(1) <math>y=2Wx^2</math>,          (2) <math>y=\frac{1}{2}x^2</math>     und     (3) <math>y=-x^2</math> ?

'''a)''' Notiere Vermutungen darüber, wie die Graphen der Funktionen (1), (2) und (3) aussehen (ohne diese zu zeichnen!).

<popup name="Hilfe">Wenn du dir unsicher bei der Formulierung deiner Vermutungen bist, kannst du Wertetabellen für die drei Funktionen aufstellen und die Funktionswerte mit den Werten von <math>y=x^2</math> vergleichen.</popup>

'''b)''' Zeichne die drei Graphen in ein Koordinatensystem und überprüfe deine Vermutungen aus Aufgabenteil a). Welche deiner Vermutungen treffen zu? Welche kannst du mit Hilfe der Funktionsgraphen korrigieren?}}

{{Aufgaben|2|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=2767802" style="border:0px;width:80%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3|Finde Werte für a, d und e, so dass <math>f(x)</math> die Kurve auf dem Bild möglichst gut beschreibt. Entscheide dich für drei Hintergrundbilder deiner Wahl und notiere den Funktionsterm in deinem Hefter. Wenn du noch weiter arbeiten möchtest, kannst du auch einige der übrigen Hintergundbilder bearbeiten.

<iframe scrolling="no" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/cDyjWjkp/sri/true/width/895/height/610/border/888888/smb" width="895px" height="610px" style="border:0px;"> </iframe>

<popup name="Lösungsvorschläge">
Da es nicht die eine richtige Lösung gibt, findest du in der Tabelle Lösungsvorschläge sowie Spielräume, in denen die Parameter liegen können, um den Verlauf angemessen zu beschreiben.

{| class="wikitable"
|-
! Hintergrundbild!! Lösungsvorschlag !! Parameter a !! Parameter d !! Parameter e
|-
| Angry Birds || <math>f(x)=-0.13(x-7)^2+4.85</math> || -0.15 ≤ a ≤ -0.13 || 6.80 ≤ d ≤ 7.20 || 4.70 ≤ e ≤ 5.00
|-
| Golden Gate Bridge || <math>f(x)=0.04(x-5.7)^2+1</math> || 0.03 ≤ a ≤ 0.05 || 5.00 ≤ d ≤ 6.40 || 0.80 ≤ e ≤ 1.10
|-
| Springbrunnen || <math>f(x)=-0.33(x-4,85)^2+5.3</math> || -0.40 ≤ a ≤ -0.30 || 4.70 ≤ d ≤ 5.00 || 5.10 ≤ e ≤ 5.50
|-
| Elbphilharmonie (Bogen links)|| <math>f(x)=0.40(x-2,50)^2+4.35</math> || 0.33 ≤ a ≤ 0.47 || 2.40 ≤ d ≤ 2.60 || 4.25 ≤ e ≤ 4.40
|-
| Elbphilharmonie (Bogen mitte)|| <math>f(x)=0.33(x-5.85)^2+3.4</math> || 0.30 ≤ a ≤ 0.36 || 5.70 ≤ d ≤ 6.00 || 3.20 ≤ e ≤ 3.60
|-
| Elbphilharmonie (Bogen rechts)|| <math>f(x)=0.22(x-9,40)^2+3.60</math> || 0.18 ≤ a ≤ 0.27 || 9.30 ≤ d ≤ 9.50 || 3.55 ≤ e ≤ 3.65
|-
| Gebirgsformation || <math>f(x)=-0.2(x-5.4)^2+2.3</math> || -0.30 ≤ a ≤ -0.10 || 5.10 ≤ d ≤ 5.70 || 2.10 ≤ e ≤ 2.50
|-
| Motorrad-Stunt || <math>f(x)=-0.07(x-7.7)^2+5.95</math> || -0.10 ≤ a ≤ -0.04 || 7.30 ≤ d ≤ 8.10 || 5.70 ≤ e ≤ 6.20
|-
| Basketball || <math>f(x)=-0.32(x-6.5)^2+6.45</math> || -0.35 ≤ a ≤ -0.29 || 6.20 ≤ d ≤ 6.80 || 6.20 ≤ e ≤ 6.70
|}</popup>}}

Datei:Turret-arch-1364314 1280.jpg

2018-03-12T16:49:28Z

Elena Jedtke: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Bergmassiv Parabel}}
|date=2013-01-17
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}}

=={{int:license-header}}==
{{cc-zero}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Datei:Video-Basketballwurf.gif

2018-03-12T16:46:12Z

Elena Jedtke: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Basketball}}
|date=2017-04-19
|source={{own}}
|author=[[User:Elena Jedtke|Elena Jedtke]]
|permission=
|other_versions=
|other_fields=
}}

=={{int:license-header}}==
{{self|cc-by-sa-3.0}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Workshop: Digitale Lernpfade

2018-03-12T14:59:26Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="850px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="1000px" valign="top">

===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Workshop: "Digitale Lernpfade: Eine praxisorientierte Einführung am Beispiel eines Lernpfads zu quadratischen Funktionen"===

Dieser Workshop findet im Rahmen der Lehrerfortbildung [http://www.mathematikunterricht-konkret.de/ Mathematikunterricht digital] am 14.03.2018 an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster statt.

Das digitale Medium Lernpfad wird im Rahmen des Workshops praxisorientiert vorgestellt. Bei Lernpfaden handelt sich um Online-Lernumgebungen, die kostenlos und ohne viele Vorkenntnisse erstellt werden können. Der Workshop zeigt zunächst Grundüberlegungen und Praxisbeispiele zu Lernpfaden auf, wie sie auf den Plattformen der Zentrale für Unterrichtsmedien e.V. (ZUM) zu finden sind. Dabei gibt es insbesondere einen Einblick in einen Lernpfad zu quadratischen Funktionen. Kombiniert wird dies mit einer praxisorientierten Phase, in der die Erstellung solcher Lernpfade erprobt werden kann.

</td></tr></table></center>
</div>

==Beispiel: Lernpfad "Quadratische Funktionen erkunden"==

[https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Hier geht's zum Lernpfad]

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Die im Folgenden aufgeführten Punkte dienen der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier]. [Achtung: Nicht alle Vorlagen funktionieren im Projektwiki.]

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

[[Benutzer:Elena Jedtke|Elena Jedtke]] ([[Benutzer Diskussion:Elena Jedtke|Diskussion]]) 15:59, 12. Mär. 2018 (CET)

Workshop: Digitale Lernpfade

2018-03-12T14:30:14Z

Elena Jedtke: Seite erstellt

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:2px solid #008B00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<center><table border="0" width="850px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="1000px" valign="top">

===Herzlich Willkommen im Projektwiki zu dem Workshop: "Digitale Lernpfade: Eine praxisorientierte Einführung am Beispiel eines Lernpfads zu quadratischen Funktionen"===

Dieser Workshop findet im Rahmen der Lehrerfortbildung [http://www.mathematikunterricht-konkret.de/ Mathematikunterricht digital] am 14.03.2018 an der Westfälischen Wilhelms-Universität Münster statt.

Das digitale Medium Lernpfad wird im Rahmen des Workshops praxisorientiert vorgestellt. Bei Lernpfaden handelt sich um Online-Lernumgebungen, die kostenlos und ohne viele Vorkenntnisse erstellt werden können. Der Workshop zeigt zunächst Grundüberlegungen und Praxisbeispiele zu Lernpfaden auf, wie sie auf den Plattformen der Zentrale für Unterrichtsmedien e.V. (ZUM) zu finden sind. Dabei gibt es insbesondere einen Einblick in einen Lernpfad zu quadratischen Funktionen. Kombiniert wird dies mit einer praxisorientierten Phase, in der die Erstellung solcher Lernpfade erprobt werden kann.

</td></tr></table></center>
</div>

==Beispiel: Lernpfad "Quadratische Funktionen erkunden"==

[https://wiki.zum.de/wiki/Quadratische_Funktionen_erkunden Hier geht's zum Lernpfad]

==Lernpfade erstellen==

<big>In diesem Abschnitt werden verschiedene Hinweise und Tipps zur Erstellung des ersten eigenen Lernpfads gesammelt. Die im Folgenden aufgeführten Punkte dienen der Orientierung und sollen den Einstieg in die Arbeit mit Lernpfaden erleichtern.</big>

* Vor der Arbeit mit Lernpfaden sollten folgende wichtige Informationen zu den Themen [http://herr-kalt.de/arbeitsmethoden/urheberrecht/start '''Urheberrecht und Creative Commons'''] gelesen werden.

* Einen guten Einstieg bietet [https://wiki.zum.de/wiki/Mathematik-digital/Lernpfade_erstellen '''dieser Lernpfad'''] der Arbeitsgruppe Mathematik-digital im ZUM-Wiki.

* Für das Projektwiki gibt es eine {{pdf|Kurzanleitung Projektwiki.pdf|'''Kurzanleitung'''}}, die erste Schritte erläutert und einige Syntaxhinweise beinhaltet.

* Die [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Bearbeitungshilfe '''Bearbeitungshilfe'''] im ZUM-Wiki enthält weitere Infos zur Syntax und erklärt kurz und knapp, wie Seiten bearbeitet werden können.

* Auf der linken Seitenleiste werden verschiedene '''Hilfe-Seiten''' unter »Hilfen« aufgeführt, die bei konkreten Fragen und Problemen helfen können.

* Viele nützliche '''Vorlagen''' für die Schule gibt es [https://wiki.zum.de/wiki/Hilfe:Vorlagen_f%C3%BCr_die_Schule hier]. [Achtung: Nicht alle Vorlagen funktionieren im Projektwiki.]

* '''Bilder und Graphiken''' von Seiten wie [https://pixabay.com/de/ Pixabay] unterliegen der Creative Commons Lizenz CC0 und können somit beliebig eingebunden und geändert werden.

* '''Interaktive Applets''' findet man zum Beispiel auf der Seite [https://learningapps.org/ LearningApps]. Nach kostenloser Registrierung können dort auch eigene Apps erstellt und gespeichert werden.

* Es ist auch möglich '''GeoGebra-Applets''' in Lernpfade zu integrieren. Das Vorgehen ähnelt dem bei den LearningApps. Es ist ohne Registrierung möglich öffentliche Materialien zu kopieren und in den eigenen Lernpfad einzubinden. Nach kostenloser Registrierung ([https://www.geogebra.org/materials hier]) können eigene Aufgaben erstellt und gespeichert werden.

Datei:Away-1019911 640.jpg

2018-02-28T10:51:48Z

Elena Jedtke: User created page with UploadWizard

=={{int:filedesc}}==
{{Information
|description={{de|1=Wegkreuzung}}
|date=2013-06-16
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|author=3dman_eu
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}}

=={{int:license-header}}==
{{cc-zero}}

[[Kategorie:Uploaded with UploadWizard]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Ableitung im Sachkontext anwenden

2017-11-22T14:57:33Z

Elena Jedtke:

{{Merke|Die Aufgaben auf dieser Seite unterscheiden sich in ihrem Lernschwerpunkt und Schwierigkeitsgard:
:* Für einen leichten Einstieg in die Sachkontexte befasse dich zunächst mit Aufgabe 1
:* Falls du noch Probleme bei dem allgemeine Zuordnen der Ableitungsbegriffe zu den Anwendungskontexten hast konzentriere dich auf Aufgabe 2 & 3
:* Komplexere Aufgaben befinden sich bei den Aufgaben 4 bis 7, wobei diese sich mit der Nummer in ihrer Schwierigkeit steigern. Solltest du schon sehr sicher mit den Aufgaben sein, gehe direkt zu Aufgabe 7 }}<br />

==Aufgabe 1: Fahrtenschreiber==
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
Heute morgen hat Herr Müller<br />
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
[[Datei:Fahrtenschreiber Herr Müller.PNG|links||500px|Graph]]<br />}}
<br />
<br /><span style="color:blue"> a) </span> Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p7gsjvdqn17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=
"true"></iframe>
<br />
<popup name="Was genau ist der Differenzenquotient"> [[Datei:Merkkasten.png|links|Merkkasten Differenzenquotient]] </popup>
<popup name="Lösung"> 24,5 km/h </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> b) </span> Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p942xjwtc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup><br />

<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.<br />
<popup name="Hilfestellung"> Schau dir den Graphen Stück für Stück an. Wie ist die Steigung (positiv, negativ, null) und was bedeutet dies im Sachzusammenhang?<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell. <br />
Ist die Steigung schwach, fährt er langsam. <br />
Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Atuo. <br />
Eine negative Steigung macht in diesem Zusammenhang nicht so viel Sinn, da ein Fahrtenschreiber, selbst wenn Herr Müller nach Hause zurück fahren würde, aufschreibt, dass das Auto vorwärts fährt. </popup>
<popup name="Lösung">
:* Minute 0-2: Steigung ist relativ schwach. → Herr Müller fährt langsam <br />
:* Mintuen 3-5: etwas stärkere Steigung → Herr Mülelr fährt schneller <br />
:* Minute 5-7: Steigung ist Null → Herr Müller steht mit seinem Auto (vor einer Ampel)<br />
:* Minute 7-12: Steigung nimmt zu → Herr Müller wird immer schneller </popup><br />
<br />
<br />

==Aufgabe 2: Ballwurf==
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= Bei den Bundesjugendspielen der Klasse 9 wirft Lisa einen Ball. Die Flugkurve ihres Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!

<iframe scrolling="no" title=" Lasse den roten Ball fliegen. Kannst du erkennen an welchen Punkten der Ball welche Steigung hat? " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zmh6kw9b/width/910/height/408/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="910px" height="408px" style="border:0px;"> </iframe>

<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvda4vyqn17" style="border:0px;width:100%;height:170px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <br />
<popup name="Lösung"> bei A= 0,8; bei B=0; bei C=-0,8 </popup>
<br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ordne die <span style="color:red"> mathematischen Begriffe </span> und <span style="color:green"> Interpretationen </span> den Markierungen auf dem Graphen zu.

Die <span style="color:yellow"> gelbe </span> Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen.

Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2nv88km317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> grüne Markierung bei x=0 --> Standpunkt des Werfers

rote Markierung bei x=0 --> Y-Achsenabschnitt

erste gelbe Markierung --> Bereich mit positiver Steigung (bis zum Hochpunkt steigt der Graph)

grüne Markierung in der Mitte --> Punkt an dem der Ball weder steigt noch fällt (Im Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null somit ist auch die Steigung gleich null)

rote Markierung bei (30/20) --> Hochpunkt

rote Markierung bei (30/0) --> X-Wert des Hochpunktes

zweite gelbe Markierung --> Bereich mit negativer Steigung (nach Erreichen des Hochpunktes fällt der Graph wieder)

grüne Markierung bei x=61,7 --> Der Ball berührt den Boden

rote Markierung bei x=61,7 --> Nullstelle </popup>
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> eine negative Steigung bedeutet, der Ball verliert an Höhe;

eine positive Steigung bedeutet, dass der Ball an Höhe gewinnt ;

Der Ball wird aus einer Höhe von 2,08m geworfen, dies kann man am Y-Achsenabschnitt ablesen.

Das Intervall geht von 0 bis 61,7. Denn Lisa wirft am Punkt x=0 und der Ball trifft nach 61,7m auf den Boden (diesen Wert erhälst du, indem du die Nullstellen berechnest.)</popup>
<br />

==Aufgabe 3: Zuordnungen==
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= Ordne den Abbildungen oder Formeln die zugehörige Interpretation zu}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmsv0igp517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
==Aufgabe 4: Baumwachstum==
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
<popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup><br />

<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir an welche besonderen Punkte man bei einem Funktion berechnen kann. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter/Jahr. </popup>
<br />
<br />
==Aufgabe 5: Wasserstand==
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen.
Bei dem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 ≤ t ≤ 12, d.h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.
<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
<br /> '''Hinweis:'''<br />
* <math>h(t) = -0,0025t^3+0,04t^2+9,17 </math> <br />
* t = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br />
* h(t) = Wasserstand in Metern }}

<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.
<popup name="Hilfestellung"> Setze für t 7,5 in die Funktion ein (=h(75)). </popup>
<popup name="Lösung"> Rechnung: <math>h(7,5)=-0,0025*7,5^3+0,04*7,5^2+9,170</math> =...≈ <math> 10,37(m) </math><br />
Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m. </popup><br />

<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.

<popup name="Hilfestellung"> Nutze den Differenzenquotienten.</popup>

<popup name="Lösung">Rechnung: <math> \frac{h(8)-h(0)}{8-0} = \frac{10,45-9,17}8 = 0,16 </math>. Die Geschwindigkeit in den ersten achten Stunden betrug durchschnittlich 0,16 m/h. </popup><br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
<popup name="Hilfestellung"> Berechne den Extrempunkt (Hochpunkt).<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Die Extremstelle liegt bei <math> t= \frac{32}3 </math> ≈ 10,67 (und t=0, entfällt, da h"(0)>0 und somit wäre es ein Tiefpunkt. (Dieser ist jedoch nicht gesucht.) Der Hochpunkt lautet H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwa 10,69 m um etwa 10:40 Uhr. </popup>
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.
<popup name="Hilfestellung"> Berechne die Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Die Wendestelle liegt bei <math> t= \frac{16}3</math>. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>
<br />
<br />

==Aufgabe 6: Nutzungsverhalten==
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
Durch die Funktion <math>f(t)=-t^3+30*t^2-225*t+520 </math> für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
<br />

'''Nutzungsverhalten der Internetseite'''
[[Datei:Internetseitenbesucher.png|links||500px|Internetseitenbesucher]]<br />}}
<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pd98izukc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=
"true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> Es sind 270 Besucher </popup><br />
<br />

<span style="color:blue"> b) </span> Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.<br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psj8f3kaa17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Es sind 206 Nutzer pro Stunde </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=py1jeux5317" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="genauere Hilfe"> Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.<br />
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:<br />
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0<br />
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 </popup>
<popup name="Lösung"> Bei t=10 </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phg3bcf0j17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /><br />
<popup name="Lösung"> Bei t = 15 </popup>
<br />
<br />
==Aufgabe 7: Konzertkarten==
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit <math>f(t)=0,05*t^3-3*t^2+45,2*t</math> beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup><br />
<span style="color:blue"> b) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Ableitung im Sachkontext anwenden

2017-11-22T14:55:10Z

Elena Jedtke:

{{Merke|Die Aufgaben auf dieser Seite unterscheiden sich in ihrem Lernschwerpunkt und Schwierigkeitsgard:
:* Für einen leichten Einstieg in die Sachkontexte befasse dich zunächst mit Aufgabe 1
:* Falls du noch Probleme bei dem allgemeine Zuordnen der Ableitungsbegriffe zu den Anwendungskontexten hast konzentriere dich auf Aufgabe 2 & 3
:* Komplexere Aufgaben befinden sich bei den Aufgaben 4 bis 7, wobei diese sich mit der Nummer in ihrer Schwierigkeit steigern. Solltest du schon sehr sicher mit den Aufgaben sein, gehe direkt zu Aufgabe 7 }}<br />

==Aufgabe 1: Fahrtenschreiber==
{{Arbeiten|NUMMER=1|ARBEIT= Herr Müller arbeitet als Testfahrer bei einem Autohersteller. Seit zwei Tagen fährt und testet er einen neuen spritsparenden Prototypen.<br />
Um genaue Informationen über die Fahrten zu erhalten, wurde ein Fahrtenschreiber in das Auto eingebaut.
Heute morgen hat Herr Müller<br />
ärgerlicherweise verschlafen und fährt eilig los, um pünktlich mit seiner Arbeit beginnen zu können.<br /><br />
'''Ausdruck des Fahrtenschreibers'''
[[Datei:Fahrtenschreiber Herr Müller.PNG|links||500px|Graph]]<br />}}
<br />
<br /><span style="color:blue"> a) </span> Wie schnell ist Herr Müller auf seinem Weg zur Arbeit im Durchschnitt gefahren?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p7gsjvdqn17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=
"true"></iframe>
<br />
<popup name="Was genau ist der Differenzenquotient"> [[Datei:Merkkasten.png|links|Merkkasten Differenzenquotient]] </popup>
<popup name="Lösung"> 24,5 km/h </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> b) </span> Auf seinem Weg musst Herr Müller vor einer roten Ampel warten. Wann war das?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p942xjwtc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=

<br />
<popup name="Lösung"> Er steht von Minute 5 bis 7 vor der Ampel und die Steigung des Graphen ist in dieser Zeit 0. </popup><br />

<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Beschreibe den Fahrtverlauf der ersten 12 Minuten stichpunktartig.<br />
<popup name="Hilfestellung"> Schau dir den Graphen Stück für Stück an. Wie ist die Steigung (positiv, negativ, null) und was bedeutet dies im Sachzusammenhang?<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Eine positive Steigeung bedeutet, dass Herr Müller mit seinem Auto fährt. Ist die Steigung stark, so fährt er eine lange Strecke in kurzer Zeit, d.h. er fährt schnell. <br />
Ist die Steigung schwach, fährt er langsam. <br />
Ist die Steigung Null (siehe Aufgabe b)) steht das Atuo. <br />
Eine negative Steigung macht in diesem Zusammenhang nicht so viel Sinn, da ein Fahrtenschreiber, selbst wenn Herr Müller nach Hause zurück fahren würde, aufschreibt, dass das Auto vorwärts fährt. </popup>
<popup name="Lösung">
:* Minute 0-2: Steigung ist relativ schwach. → Herr Müller fährt langsam <br />
:* Mintuen 3-5: etwas stärkere Steigung → Herr Mülelr fährt schneller <br />
:* Minute 5-7: Steigung ist Null → Herr Müller steht mit seinem Auto (vor einer Ampel)<br />
:* Minute 7-12: Steigung nimmt zu → Herr Müller wird immer schneller </popup><br />
<br />
<br />

==Aufgabe 2: Ballwurf==
{{Arbeiten|NUMMER=2|ARBEIT= Bei den Bundesjugendspielen der Klasse 9 wirft Lisa einen Ball. Die Flugkurve ihres Balls kann näherungsweise durch die Funktion <math>f(x)=-0,02x^2+1,2x+2,08</math> beschrieben werden.}}
<span style="color:blue"> a) </span> Den Flug des Balls kannst du unter folgendem Link genauer betrachten. Lass hierzu den roten Ball fliegen, indem du bei dem roten Ball auf play drücken. Die anderen Punkte solltest du nicht bewegen!

<iframe scrolling="no" title=" Lasse den roten Ball fliegen. Kannst du erkennen an welchen Punkten der Ball welche Steigung hat? " src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/zmh6kw9b/width/910/height/408/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="910px" height="408px" style="border:0px;"> </iframe>

<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme die Steigung des Balls an den verschiedenen Punkten der Flugkurve.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvda4vyqn17" style="border:0px;width:100%;height:170px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> <br />
<popup name="Lösung"> bei A= 0,8; bei B=0; bei C=-0,8 </popup>
<br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ordne die <span style="color:red"> mathematischen Begriffe </span> und <span style="color:green"> Interpretationen </span> den Markierungen auf dem Graphen zu.

Die <span style="color:yellow"> gelbe </span> Markierung soll einen Bereich statt einen Punkt kennzeichnen.

Für die Zuordnung musst die verschiedenen Markierungen anklicken und anschließend eine der vorgeschlagenen Möglichkeiten auswählen.

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2nv88km317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> grüne Markierung bei x=0 --> Standpunkt des Werfers

rote Markierung bei x=0 --> Y-Achsenabschnitt

erste gelbe Markierung --> Bereich mit positiver Steigung (bis zum Hochpunkt steigt der Graph)

grüne Markierung in der Mitte --> Punkt an dem der Ball weder steigt noch fällt (Im Hochpunkt ist die erste Ableitung gleich null somit ist auch die Steigung gleich null)

rote Markierung bei (30/20) --> Hochpunkt

rote Markierung bei (30/0) --> X-Wert des Hochpunktes

zweite gelbe Markierung --> Bereich mit negativer Steigung (nach Erreichen des Hochpunktes fällt der Graph wieder)

grüne Markierung bei x=61,7 --> Der Ball berührt den Boden

rote Markierung bei x=61,7 --> Nullstelle </popup>
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Fülle die Lücken, indem du die Aufgabe im Sachzusammenhang interpretieren.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pt8k3bz3c17" style="border:0px;width:100%;height:270px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> eine negative Steigung bedeutet, der Ball verliert an Höhe;

eine positive Steigung bedeutet, dass der Ball an Höhe gewinnt ;

Der Ball wird aus einer Höhe von 2,08m geworfen, dies kann man am Y-Achsenabschnitt ablesen.

Das Intervall geht von 0 bis 61,7. Denn Lisa wirft am Punkt x=0 und der Ball trifft nach 61,7m auf den Boden (diesen Wert erhälst du, indem du die Nullstellen berechnest.)</popup>
<br />

==Aufgabe 3: Zuordnungen==
{{Arbeiten|NUMMER=3|ARBEIT= Ordne den Abbildungen oder Formeln die zugehörige Interpretation zu}}
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmsv0igp517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
==Aufgabe 4: Baumwachstum==
{{Arbeiten|NUMMER=4|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Durch die Funktion f mit <math>f(t)=-0,0027*t^2+0,108*t+0,02</math> wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit t (in Jahren) beschrieben. Dabei gibt f(t) die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an. Zum Zeitpunkt t=0 hat eine frisch eingepflanzte Fichte eine Höhe von ca. 20 cm.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Berechne den Funktionswert von f an der Stelle t=30 und interpretiere das Ergebnis im Sachzusammenhang.<br />
<popup name="Lösung"> f(30)=0,83 Die Fichte wächst im 30. Jahr 83cm. </popup><br />

<span style="color:blue"> b) </span> Bestimme rechnerisch das Alter, in dem die Fichte am stärksten wächst, und gib die größte Wachstumsgeschwindigkeit an.
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir an welche besonderen Punkte man bei einem Funktion berechnen kann. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: notwendige Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=20 und die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 1,1 Meter/Jahr. </popup>
<br />
<br />
==Aufgabe 5: Wasserstand==
{{Arbeiten|NUMMER=5|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br /> [[Datei:Cologne-1078671 1920.jpg|rechts|rahmenlos|Rhein]]
<br /> In Nordrhein-Westfalen sind Hochwasser nichts Unbekanntes. Vorallem zwischen 1993 und 1995 gab es einige Rheinüberschwemmungen. In den ersten Tagen in 1995 ließen anhaltende Regenfälle und die beginnende Schneeschmelze den Rhein auf Rekordhöhe steigen.
Bei dem Hochwasser wurde an einer Messstation zwölf Stunden lang der Wasserstand aufgezeichnet. Für 0 ≤ t ≤ 12, d.h. für den Beobachtungszeitraum von zwölf Stunden, stellt der Graph der Funktion h modellhaft die Höhe des Wasserstandes an dieser Messstation dar.
<br /> [[Datei:Hochwasser neu.png|links|Graph der Funktion h]]
<br /> '''Hinweis:'''<br />
* <math>h(t) = -0,0025t^3+0,04t^2+9,17 </math> <br />
* t = Zeit in Stunden seit dem Beobachtungsbeginn (27.01.1995 um 0:00) <br />
* h(t) = Wasserstand in Metern }}

<span style="color:blue"> a) </span> Berechne die Höhe des Wasserstandes um 7:30 Uhr.
<popup name="Hilfestellung"> Setze für t 7,5 in die Funktion ein (=h(75)). </popup>
<popup name="Lösung"> Rechnung: <math>h(7,5)=-0,0025*7,5^3+0,04*7,5^2+9,170</math> =...≈ <math> 10,37(m) </math><br />
Der Wasserstand liegt um 7:30 Uhr bei etwa 10,37 m. </popup><br />

<span style="color:blue"> b) </span> Berechne die Geschwindigkeit, mit der der Wasserstand in den ersten acht Stunden des Beobachtungszeitraumes durchschnittlich anstieg.

<popup name="Hilfestellung"> Nutze den Differenzenquotienten.</popup>

<popup name="Lösung">Rechnung: <math> \frac{h(8)-h(0)}{8-0} = \frac{10,45-9,17}8 = 0,16 </math>. Die Geschwindigkeit in den ersten achten Stunden betrug durchschnittlich 0,16 m/h. </popup><br />

<span style="color:blue"> c) </span> Ermittle den Zeitpunkt,an dem der höchste Wasserstand an der Messtation erreicht wurde. Bereche auch den exakten Höchststand.
<popup name="Hilfestellung"> Berechne den Extrempunkt (Hochpunkt).<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Die Extremstelle liegt bei <math> t= \frac{32}3 </math> ≈ 10,67 (und t=0, entfällt, da h"(0)>0 und somit wäre es ein Tiefpunkt. (Dieser ist jedoch nicht gesucht.) Der Hochpunkt lautet H(32/3 | 5771/540). Der Wasserstand liegt bei etwa 10,69 m um etwa 10:40 Uhr. </popup>
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt, zu dem der Wasserstand am schnellsten anstieg, rechnerisch.
<popup name="Hilfestellung"> Berechne die Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
<popup name="genauere Hilfestellung"> Nutze den Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösungen"> Die Wendestelle liegt bei <math> t= \frac{16}3</math>. Daraus folgt, dass der Wasserstand nach 5 Stunden und 20 Minuten am schnellsten anstieg. </popup>
<br />
<br />

==Aufgabe 6: Nutzungsverhalten==
{{Arbeiten|NUMMER=6|ARBEIT= In den letzten 24 Stunden hat eine Internetseite erfasst, wie viele Besucher die Seite hatte. Die Abbildung zeigt das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr<br />
Durch die Funktion <math>f(t)=-t^3+30*t^2-225*t+520 </math> für 6 ≤ t ≤ 20 wird das Nutzungsverhalten von 6 bis 20 Uhr dargestellt. <br /><br />
<br />

'''Nutzungsverhalten der Internetseite'''
[[Datei:Internetseitenbesucher.png|links||500px|Internetseitenbesucher]]<br />}}
<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Wie viele Besucher hatte die Internetseite um 10 Uhr?<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pd98izukc17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen=
"true"></iframe>
<br />
<popup name="Lösung"> Es sind 270 Besucher </popup><br />
<br />

<span style="color:blue"> b) </span> Wie viele Nutzer sind von 8 bis 10 Uhr im Durchschnitt pro Stunde dazu gekommen?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist.<br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psj8f3kaa17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Es sind 206 Nutzer pro Stunde </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> c) </span> Zu welchem Zeitpunkt hat sich die Bescuherzahl durchschnittlich am stärksten geändert?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=py1jeux5317" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="genauere Hilfe"> Die Stelle an der ein Graph die stärkste Änderung (der Steigung) hat, heißt Wendestelle.<br />
Um eine Wendestelle zu berechnen müssen folgende zwei Bedingungen erfüllt sein:<br />
notwendige Bedingun: f´´(t) = 0<br />
hinreichende Bedingung: f´´´(t) ≠ 0 </popup>
<popup name="Lösung"> Bei t=10 </popup><br />
<br />
<span style="color:blue"> d) </span> Zu welcher Uhrzeit haben die meisten Besucher die Internetseite besucht?<br />
<br />
Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen ob sie richtig ist. Gib die Lösung mit einer Nachkommastelle an! <br />
Bei Problemen, klicke auf die Glühbirne oben links.<br />
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=phg3bcf0j17" style="border:0px;width:100%;height:150px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br /><br />
<popup name="Lösung"> Bei t = 15 </popup>
<br />
<br />
==Aufgabe 7: Konzertkarten==
{{Arbeiten|NUMMER=7|ARBEIT=Befasse dich mit der folgenden Anwendungsaufgabe. Nimm dazu dein Heft für die Rechnungen zur Hilfe
<br />Eine Ticketagentur verkauft Karten für ein sehr begehrtes Konzert. Schon eine Stunde nach Freischaltung sind die Karten fast ausverkauft. Die Funktion f mit <math>f(t)=0,05*t^3-3*t^2+45,2*t</math> beschreibt näherungsweise die Anzahl der Karten, die pro Minute zu einer bestimmten Zeit verkauft werden für die ersten dreißig Minuten des Verkaufs t=0 steht für den Zeitpunkt der Freischaltung der Hotline.}}<br />
<span style="color:blue"> a) </span> Zu welchem Zeitpunkt werden die meisten Karten pro Minute verkauft?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Extrempunkt (Hochpunkt)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h'(t)=0 und h"(t)<0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Hochpunkt liegt bei t=29,933 </popup><br />
<span style="color:blue"> b) </span> Wann im Verlauf der ersten Stunde nimmt die Anzahl der verkauften Karten am schnellsten ab?
<popup name="Hilfestellung"> Überlege dir welche besonderen Punkte du bei einer Funktion berechnen kannst. Welcher dieser Punkte ist für die Aufgabe relevant?
<popup name="weitere Hilfestellung"> Wendestelle (Extremstelle der 1. Ableitung)<br />
Ansatz: hinreichende Bedingung h"(t)=0 und h'"(t)≠0 </popup>
<popup name="Lösung"> Der Wendepunkt liegt bei t=20. </popup>

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Graphisches Ableiten - Die Ableitung als Funktionsdetektor

2017-11-22T14:53:54Z

Elena Jedtke:

In diesem Lernpfad könnt ihr den Zusammenhang zwischen Funktionsgraph und Ableitungsgraph üben und vertiefen. Es steht das graphische Ableitung im Vordergrund, d.h. der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen der Funktion und der Ableitung. Dabei unterscheiden wir zwischen Förder- und Forderaufgaben.
<br /><br />

Fällt dir das Thema leicht, konzentriere dich auf die '''Forderaufgaben (Aufgabe 4 und Aufgabe 5 )'''. <br />
Hast du noch Schwierigkeiten, konzentriere dich auf die '''Förderaufgaben (Aufgabe 1 und Aufgabe 2 und Aufgabe 3)'''.

<br /><br />
Wenn du bei den Aufgaben Hilfe benötigst, findest du unter den Aufgaben Hilfestellungen. Diese kannst du anklicken. Bei manchen Aufgaben findest du dort auch die Lösungen.

<br /><br />

==<u>Aufgabe 1: Lückentext (Förderaufgabe)</u>==
<br />Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvcv9fkun17" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Hilfestellung 1">Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Funktionsgraphen am Berührungspunkt.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 2">Besitzt der Funktionsgraph einen Hoch- oder Tiefpunkt, so hat die Tangente keine Steigung.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 3">Welchen Grad besitzt die Ableitung der Funktion f(x)=x<sup>2</sup>?.<popup name="Lösung"> Der Grad dieser Ableitung beträgt 1. Versuche dieses nun auf eine Funktion vom Grad 3 zu übertragen.</popup>
<br /><br />

==<u>Aufgabe 2: Welche Ableitung gehört zu welchem Funktionsgraphen? (Förderaufgabe)</u>==
<br />Um den Graphen größer zu sehen und somit die Werte besser zu erkennen, klicke den Graphen an. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pawjyio7217" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<popup name="Hilfestellung 1">Betrachte zunächst auffällige Punkte des Funktionsgraphen und versuche diese Punkte im Ableitungsgraphen wieder zu erkennen.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 2">Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus? <popup name="Lösung">Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 3">Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen aus? <popup name="Lösung"> Ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen stellt eine Wendestelle im Funktiongraphen dar.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 4"> Was weißt du über den Ableitungsgraphen, wenn der Funktionsgraph monoton steigt? <popup name="Lösung"> Der Ableitungsgraph verläuft im positiven Bereich des Koordinatensystems.
</popup>
<br /><br />

==<u>Aufgabe 3: Die 1.000.000 Euro Frage (Förderaufgabe)</u>==
<br />
Um die Funktionsgraphen größer zu sehen, kannst du diese anklicken. Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p8tet4swn17" style="border:0px;width:100%;height:700px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br /><br />

<popup name="Hilfestellung 1">Versuche zunächst den Graphen der beschriebenen Funktion auf einem Blatt zu zeichnen.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 2">Was sagt eine Nullstelle im Ableitungsgraphen aus? <popup name="Lösung">Eine Nullstelle im Ableitungsgraphen stellt einen Hoch- oder Tiefpunkt im Funktionsgraphen dar.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 3">Was sagt ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen aus? <popup name="Lösung"> Ein Hoch- oder Tiefpunkt im Ableitungsgraphen stellt eine Wendestelle im Funktiongraphen dar.
</popup>

<br />

<popup name="Lösungsvorschlag">
Die gesuchte Ableitung ist die linke Abbildung.<br />
Die Funktion hat an der Stelle x=3 eine Wendestelle, da sie dort die stärkste Steigung aufweist. Wenn die Funktion eine Wendestelle besitzt, so hat die Ableitung einen Hoch- oder Tiefpunkt. Die linke und rechte Abbildung erfüllen dieses Kriterium. '''Die mittlere Abbildung kommt nun nicht mehr in Frage.''' <br />
Da die Funktion einen Hochpunkt bei (2,1) und einen Tiefpunkt bei (4,-1) besitzt, muss die zugehörige Ableitung an den Stellen x=2 und x=4 Nullstellen besitzen. Auch dies ist bei der linken und rechten Abbildung der Fall.<br />
Im Intervall 2 < x <4 fällt die beschriebene Funktion monoton, da sie in (2,1) einen Hochpunkt und in (4,-1) einen Tiefpunkt besitzt. Wenn die Funktion monoton fällt, so ist die Ableitung negativ.
'''Nun kommt lediglich die linke Abbildung in Frage''', da die rechte Ableitung im obigen Intervall positiv ist.
</popup>

<br /><br />
==<u>Aufgabe 4: Pärchenbildung (Forderaufgabe)</u>==
<br />
Wenn du die Aufgabe gelöst hast, klicke zur Kontrolle unten rechts auf den Haken.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pqxp8bemc17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br /><br />
<popup name="Hilfestellung 1"> Zeichne eine Funktion dritten Grades. Ebenso zeichne die ersten drei Ableitungen von dieser und überlege, welche Zusammenhänge dir auffallen. Wenn dir dies noch Probleme bereitet, schaue dir die Hilfestellung 2 an.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 2"> :::[[Datei:Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungen.png|rahmenlos|700px|Hilfestellung]]
</popup>
<popup name="Hilfestellung 3"> f(x) hat eine Tiefpunkt, wenn die Steigung der Tangente (also die Steigung der Ableitung) in diesem Punkt gleich 0 ist. Versuche dir dieses graphisch vorzustellen. Versuch dann die erste Ableitung ein weiteres mal graphisch abzuleiten. Welche zusätzliche Bedingung für einen Tiefpunkt fällt dir auf?<br />
Dieses Verfahren kannst du auch auf einen Hochpunkt anwenden.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 4"> Die Wendestelle gibt die stärkste Steigung des Funktionsgraphen an. Dies bedeutet, dass die Ableitung die Steigung des Funktionsgraphen angibt. <br />
Denke daran, dass die zweite Ableitung die Steigung der ersten Ableitung angibt. Demnach bedeutet der Hoch-/Tiefpunkt der ersten Ableitung eine Nullstelle in der zweiten Ableitung. Versuche nun durch zeichnen der dritten Ableitung die weitere Bedingung für die dritte Ableitung herauszubekommen.
</popup>
<br /><br />

==<u>Aufgabe 5: Temperatur im Jahresverlauf (Forderaufgabe)</u>==
Der unten dargestellte Graph f stellt die durchschnittliche Tagestemperatur im Jahr 2016 in Deutschland dar. Auf der x-Achse sind die Monate von 0 bis 12 darstellt, wobei 0 den 1.Januar, 1 den 1.Februar, …, 11 den 1.Dezember darstellt. Auf der y-Achse ist die Temperatur in °C angegeben. <br />
[[Datei:Temperatur im Jahresverlauf.png|zentriert|700px|Graph]]
<br />

'''a.)''' Zeichne den zugehörigen Ableitungsgraphen in dein Heft und beschreibe schrittweise, wie du ihn konstruiert hast. Was stellt der Ableitungsgraph im Sachkontext dar?<br />

<popup name="Hilfestellung 1"> Suche zunächst wichtige Punkte heraus (wie z.B. Hochpunkt, Wendestellen, Nullstellen) und überlege, welche Bedeutung diese für den Ableitungsgraphen haben? Wenn dir diese Hilfestellung noch Probleme bereitet, schaue dir Aufgabe 2 an.
</popup>

<popup name="Hilfestellung 2"> Der Funktionsgraph kann durch die Gleichung f(x) = -0,8x<sup>2</sup> + 10x - 7 modelliert werden. Welcher Grad liegt dann bei der Ableitung vor? <popup name="Lösung"> Der Ableitungsgraph stellt eine Gerade dar.
</popup>
<br />
<popup name="Lösungsvorschlag"> Die dargestellte Gerade ist der Ableitungsgraph f' von f. <br />
[[Datei:Temperaturänderung im Jahresverlauf.png|rahmenlos|600px|Graph Ableitung]]<br />
<u>Beispielhafte Konstruktion:</u><br />
1.) Es liegt eine Funktion zweiten Grades vor. Also hat die Ableitung den Grad 1. Sie ist also eine Gerade.<br />
2.) Der Hochpunkt liegt ungefähr bei (6,2|24,2). Also liegt eine Nullstelle bei x=6,2 vor.<br />
3.) Der Funktionsgraph steigt im Intervall [0;6,2) monoton. Demnach ist die Ableitung in diesem Intervall positiv. Je stärker der Funktionsgraph steigt, desto positiver ist der Ableitungsgraph. <br />
4.) Der Funktionsgraph fällt im Intervall (6,2;12] monoton. Demnach ist die Ableitung in diesem Intervall negativ. Je stärker der Funktionsgraph fällt, desto negativer ist der Ableitungsgraph<br />
<br />
<u>Ableitung im Sachkontext:</u><br />
Die Ableitung gibt die Temperaturänderung in °C/Monat an.<br />
</popup> <br /><br />
'''b.)''' In welchem Monat ist die Temperatur am höchsten?

<popup name="Hilfestellung"> Denke daran, dass x=1 für den 1.Februar steht.
</popup>
<br />
<popup name="Lösungsvorschlag"> Die Temperatur ist im Juli am höchsten, denn der Hochpunkt liegt an der Stelle x=6,2.
</popup> <br /><br />

'''c.)''' In welchen Monaten steigt bzw. fällt die Temperatur und wann steigt sie am schnellsten an? Versuche dieses mit dem Ableitungsgraphen zu begründen.
<popup name="Hilfestellung"> Überlegt, welche Bedeutung es für den Ableitungsgraphen hat, wenn der Funktionsgraph monoton steigt/fällt. <popup name="Lösung"> Wenn der Funktionsgraph monoton steigt/fällt, verläuft der Ableitungsgraph im positiven/negativen Bereich.
</popup>
<br />
<popup name="Lösungsvorschlag"> Die Temperatur steigt in den Monaten Januar bis Juli. Da dort der Ableitungsgraph im positiven Bereich verläuft. Allerdings nimmt die Temperaturzunahme ab, da die angegebenen Werte in °C/Monat weniger positiv werden.<br />
Die Temperatur fällt in den Monaten Juli bis Dezember. Da dort der Ableitungsgraph im nrgativen Bereich verläuft. zusätzlich nimmt die Temperaturabnahme zu, da die angegebenen Werte in °C/Monat negativer werden werden.<br />
Die Temperatur steigt im Monat Januar am stärksten an. Dieses ist daran zu erkenne, dass die Ableitung dort den größten Wert annimmt.<br />
Die Temperatur fällt im Monat Dezember am stärksten an. Dieses ist daran zu erkenne, dass die Ableitung dort den kleinsten Wert annimmt.<br />
</popup> <br /><br />

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

2017-11-22T14:50:04Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #C0FF3E; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;">
<center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="300px" valign="top">
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. <br />
:* '''Aufgabe 1''' bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen. <br />
:* In '''Aufgabe 2 und 3''' kannst du dein erlerntes Wissen in einem Sachkontext anwenden. '''Aufgabe 2''' konzentriert sich auf den Differenzenquotienten. Falls du die inhaltliche Deutung und die Anwendung des Differenzenquotienten bereits beherrschst, gehe direkt zu '''Aufgabe 3'''. Dort kannst du nach einer kurzen Aufgabe zum Differenzenquotieten direkt mit dem Differenzialquotienten starten. <br />
:* Wenn du eine Herausforderung suchst, beschäftige dich mit '''Aufgabe 4'''. Zuvor solltest du jedoch deine Grundkenntnisse in Aufgabe 1, 2 und 3 gefestigt haben. <br />
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)
</td></tr></table></center>
</div>

== Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient? ==
{{Aufgaben|1a)|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pfyusdtr317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|1b)|Übertrage die zugeordneten Formeln und Aussagen auf einem Zettel, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle.
(Die Bilder musst du nicht übertragen, außer sie unterstützen dich beim Lernen.) }}

==Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin==
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten. <br />
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:
::: [[Datei:Fernbus Bild.png|rahmenlos|1500px|Fläche 1]]
{{Aufgaben|2a)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2x0c1b5t17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an.
</popup> }}

{{Aufgaben|2b)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puy7t0bzj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|2c)|Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses gewählt? <br />
Kannst du nun eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate in einem beliebigen Sachkontext aufstellen? <br />
Notiere diese auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner des Differenzenquotienten steht.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben.
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden: <br />
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>

</popup>

}}

==Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten==

Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].

::: [[Datei: Besucher Zoo Graph.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

Die folgende Wertetabellle gibt die genauen Daten an:

{| border="1" cellspacing="0" valign="top"
| width="5%" | Zeit in Stunden nach Öffnung des Zoos
| width="5%" | 0
| width="5%" | 1
| width="5%" | 2
| width="5%" | 3
| width="5%" | 4
| width="5%" | 5
| width="5%" | 6
| width="5%" | 7
| width="5%" | 8
| width="5%" | 9
| width="5%" | 10
| width="5%" | 10,6
|-valign="top"
| Anzahl der Besucher
| 0
| 600
| 950
| 1200
| 1308
| 1249
| 1100
| 1000
| 1050
| 1151
| 837
| 0
|}

{{Aufgaben|3a)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq8bxyutv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3b)|In welchen Zeitintervallen nimmt die Besucherzahl ab? In welchen Zeitintervallen nimmt sie zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Von 9 bis 13 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann fällt die Anzahl der Besucher bis 16:15 Uhr. Im Anschluss steigt sie erneut bis 18 Uhr, bevor sie in den letzten ein drei viertel Stunden bis zum Schließen des Zoos abnimmt.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3c)|Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf die Art und Weise verändert, wie du sie in 3b) bestimmt hast. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph in einem bestimmten Intervall ab- oder zunimmt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Lösungsvorschlag:
Viele Besucher kommen bereits am Vormittag zum Zoo, um den Tag ausgiebig zu nutzen. Ein Teil der Menschen verlässt ab 13 Uhr den Zoologischen Garten, weil sie zu Hause Mittag essen und bereits einige Stunden im Park verbracht haben. Ein weiterer Grund für das Fallen der Besucherzahlen zwischen 13 und 16:15 Uhr ist, dass in der Regel die Menschen während der Mittagszeit zu Hause bleiben. Der Anstieg der Besucherzahl zwischen 16:15 Uhr und 18 Uhr könnte durch Vergünstigungen erklärt werden, die der Zoo in die letzten Stunden des Tages gibt, um mehr Besucher anzulocken. Von 18 bis 19:45 Uhr verlassen die Menschen ihren Ausflugsort. Bereits um 19:36 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Zoo, weil in der Regel die Menschen ein paar Minuten vor Schließung den Ort verlassen.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3d)|In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.

<iframe scrolling="no" title="Graph Besucher Zoo" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Ab6qkqg3/width/800/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>

Aufgabenteil 1: Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Gerade stellt die Tangente am Graphen im Punkt P dar und m beschreibt die Steigung der Tangente in P.
</popup>

Aufgabenteil 2: Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Gehe zu der Aufgabe "Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?" zurück. Dort bekommst du einen guten Überblick über die verschiedenen Änderungsraten und darüber, was sie explizit bedeuten. Überlege dir also, welche Änderungsrate du für diese Aufgabe benötigst und stelle eine Verbindung zur Tangente her.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt P(x|y) ist gleich der momentanen Änderungsrate von dem Graphen an der Stelle x vom Punkt P. Indem du also die Tangentensteigung (also m) kennst, kannst du bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt x (d. h. zu einer bestimmten Uhrzeit) verändert.
</popup>
}}

{{Aufgaben|3e)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1wzdxb5k17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

==Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten==

{{Aufgabe|Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt.
Die folgende Grafik verdeutlicht genau diese Vorgehensweise. <br/>
<iframe scrolling="no" title="Vom Differenzen zum Differentialquotienten" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sARZDGgH/width/757/height/590/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="757px" height="597px" style="border:0px;"> </iframe>

Nach Vorlage von: [https://www.geogebra.org/gert+linhofer Gert Linhofer], [https://www.geogebra.org/lindner Andreas Lindner]

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pkpa9uon517" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

2017-11-22T14:47:56Z

Elena Jedtke: Aufg. 2a überarbeitet

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #C0FF3E; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;">
<center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="300px" valign="top">
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. <br />
:* '''Aufgabe 1''' bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen. <br />
:* In '''Aufgabe 2 und 3''' kannst du dein erlerntes Wissen in einem Sachkontext anwenden. '''Aufgabe 2''' konzentriert sich auf den Differenzenquotienten. Falls du die inhaltliche Deutung und die Anwendung des Differenzenquotienten bereits beherrschst, gehe direkt zu '''Aufgabe 3'''. Dort kannst du nach einer kurzen Aufgabe zum Differenzenquotieten direkt mit dem Differenzialquotienten starten. <br />
:* Wenn du eine Herausforderung suchst, beschäftige dich mit '''Aufgabe 4'''. Zuvor solltest du jedoch deine Grundkenntnisse in Aufgabe 1, 2 und 3 gefestigt haben. <br />
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)
</td></tr></table></center>
</div>

== Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient? ==
{{Aufgaben|1a)|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pfyusdtr317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|1b)|Übertrage die zugeordneten Formeln und Aussagen auf einem Zettel, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle.
(Die Bilder musst du nicht übertragen, außer sie unterstützen dich beim Lernen.) }}

==Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin==
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten. <br />
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:
::: [[Datei:Fernbus Bild.png|rahmenlos|1500px|Fläche 1]]
{{Aufgaben|2a)|''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (oben rechts) und bearbeite die Aufgabe dort.''

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p2x0c1b5t17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an.
</popup> }}

{{Aufgaben|2b)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puy7t0bzj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|2c)|Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses gewählt? <br />
Kannst du nun eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate in einem beliebigen Sachkontext aufstellen? <br />
Notiere diese auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner des Differenzenquotienten steht.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben.
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden: <br />
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>

</popup>

}}

==Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten==

Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].

::: [[Datei: Besucher Zoo Graph.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

Die folgende Wertetabellle gibt die genauen Daten an:

{| border="1" cellspacing="0" valign="top"
| width="5%" | Zeit in Stunden nach Öffnung des Zoos
| width="5%" | 0
| width="5%" | 1
| width="5%" | 2
| width="5%" | 3
| width="5%" | 4
| width="5%" | 5
| width="5%" | 6
| width="5%" | 7
| width="5%" | 8
| width="5%" | 9
| width="5%" | 10
| width="5%" | 10,6
|-valign="top"
| Anzahl der Besucher
| 0
| 600
| 950
| 1200
| 1308
| 1249
| 1100
| 1000
| 1050
| 1151
| 837
| 0
|}

{{Aufgaben|3a)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq8bxyutv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3b)|In welchen Zeitintervallen nimmt die Besucherzahl ab? In welchen Zeitintervallen nimmt sie zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Von 9 bis 13 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann fällt die Anzahl der Besucher bis 16:15 Uhr. Im Anschluss steigt sie erneut bis 18 Uhr, bevor sie in den letzten ein drei viertel Stunden bis zum Schließen des Zoos abnimmt.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3c)|Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf die Art und Weise verändert, wie du sie in 3b) bestimmt hast. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph in einem bestimmten Intervall ab- oder zunimmt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Lösungsvorschlag:
Viele Besucher kommen bereits am Vormittag zum Zoo, um den Tag ausgiebig zu nutzen. Ein Teil der Menschen verlässt ab 13 Uhr den Zoologischen Garten, weil sie zu Hause Mittag essen und bereits einige Stunden im Park verbracht haben. Ein weiterer Grund für das Fallen der Besucherzahlen zwischen 13 und 16:15 Uhr ist, dass in der Regel die Menschen während der Mittagszeit zu Hause bleiben. Der Anstieg der Besucherzahl zwischen 16:15 Uhr und 18 Uhr könnte durch Vergünstigungen erklärt werden, die der Zoo in die letzten Stunden des Tages gibt, um mehr Besucher anzulocken. Von 18 bis 19:45 Uhr verlassen die Menschen ihren Ausflugsort. Bereits um 19:36 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Zoo, weil in der Regel die Menschen ein paar Minuten vor Schließung den Ort verlassen.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3d)|In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.

<iframe scrolling="no" title="Graph Besucher Zoo" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Ab6qkqg3/width/800/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>

Aufgabenteil 1: Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Gerade stellt die Tangente am Graphen im Punkt P dar und m beschreibt die Steigung der Tangente in P.
</popup>

Aufgabenteil 2: Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Gehe zu der Aufgabe "Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?" zurück. Dort bekommst du einen guten Überblick über die verschiedenen Änderungsraten und darüber, was sie explizit bedeuten. Überlege dir also, welche Änderungsrate du für diese Aufgabe benötigst und stelle eine Verbindung zur Tangente her.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt P(x|y) ist gleich der momentanen Änderungsrate von dem Graphen an der Stelle x vom Punkt P. Indem du also die Tangentensteigung (also m) kennst, kannst du bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt x (d. h. zu einer bestimmten Uhrzeit) verändert.
</popup>
}}

{{Aufgaben|3e)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1wzdxb5k17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

==Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten==

{{Aufgabe|Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt.
Die folgende Grafik verdeutlicht genau diese Vorgehensweise. <br/>
<iframe scrolling="no" title="Vom Differenzen zum Differentialquotienten" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sARZDGgH/width/757/height/590/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="757px" height="597px" style="border:0px;"> </iframe>

Nach Vorlage von: [https://www.geogebra.org/gert+linhofer Gert Linhofer], [https://www.geogebra.org/lindner Andreas Lindner]

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pkpa9uon517" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Differenzen- und Differentialquotienten verstehen und inhaltlich deuten

2017-11-22T13:51:27Z

Elena Jedtke:

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #C0FF3E; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;">
<center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td width="300px" valign="top">
Der folgende Lernpfad hilft dir, dein Wissen über den Differenzial- und den Differenzenquotienten aufzufrischen. <br />
:* '''Aufgabe 1''' bietet dir die Möglichkeit, die charakteristischen Merkmale des Differenzial- und des Differenzquotienten zu wiederholen. <br />
:* In '''Aufgabe 2 und 3''' kannst du dein erlerntes Wissen in einem Sachkontext anwenden. '''Aufgabe 2''' konzentriert sich auf den Differenzenquotienten. Falls du die inhaltliche Deutung und die Anwendung des Differenzenquotienten bereits beherrschst, gehe direkt zu '''Aufgabe 3'''. Dort kannst du nach einer kurzen Aufgabe zum Differenzenquotieten direkt mit dem Differenzialquotienten starten. <br />
:* Wenn du eine Herausforderung suchst, beschäftige dich mit '''Aufgabe 4'''. Zuvor solltest du jedoch deine Grundkenntnisse in Aufgabe 1, 2 und 3 gefestigt haben. <br />
Viel Spaß beim Bearbeiten der Aufgaben! :)
</td></tr></table></center>
</div>

== Aufgabe 1: Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient? ==
{{Aufgaben|1a)|<iframe src="//LearningApps.org/watch?v=pfyusdtr317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|1b)|Übertrage die zugeordneten Formeln und Aussagen auf einem Zettel, zum Beispiel mithilfe einer Tabelle.
(Die Bilder musst du nicht übertragen, außer sie unterstützen dich beim Lernen.) }}

==Aufgabe 2: Eine Kursfahrt nach Berlin==
Zusammen mit eurem Mathekurs macht ihr eine Kursfahrt nach Berlin. Euer Lehrer hat sich dafür entschieden die Reise mit einem Fernbus anzutreten. <br />
Morgens um 08:30 Uhr startet ihr am Hauptbahnhof in Münster. Auf eurer Fahrt sammelt der Bus noch andere Leute an verschiedenen Haltestellen ein:
::: [[Datei:Fernbus Bild.png|rahmenlos|1500px|Fläche 1]]
{{Aufgaben|2a)|Schau dir die obere Abbildung genau an. Finde eine passende Ordnung für die unten stehenden Kärtchen, indem du sie auf die passenden grünen Felder ziehst. Dabei soll der Weg in Abhängigkeit von der Zeit dargestellt werden.}}

<div class="lueckentext-quiz">
{|
| Städte|| '''Münster''' || '''Osnabrück''' || '''Bad Oeynhausen''' || '''Hannover''' || '''Berlin'''
|-
| Zeit in min || '''0''' || '''65''' || '''45''' || '''70''' || '''210'''
|-
| Weg in km || '''0''' || '''69''' || '''58''' || '''80''' || '''276'''
|}
</div>

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Die Kilometerangaben geben jeweils den Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Stationen an.
</popup>

{{Aufgaben|2b)|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=puy7t0bzj17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|2c)|Welche Einheit hast du für die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses gewählt? <br />
Kannst du nun eine Regel für die Bestimmung der Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate in einem beliebigen Sachkontext aufstellen? <br />
Notiere diese auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, welche Einheit im Zähler und welche im Nenner des Differenzenquotienten steht.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die durchschnittliche Geschwindigkeit des Busses wird in km/h angegeben.
Die Einheit der durchschnittlichen Änderungsrate kann man mit Hilfe des Differenzenquotienten bestimmt werden: <br />
Einheit der durchschittlichen Änderungsrate einer Funktion <math>f = \frac{\text{Einheit von } f(x)}{\text{Einheit von } x}</math>

</popup>

}}

==Aufgabe 3: Ein Besuch im Zoologischen Garten==

Auf der Kursfahrt in Berlin besucht ihr den Zoologischen Garten, der von 9:00 bis 19:45 Uhr geöffnet ist. Vor dem Ausflug schaut ihr euch die Besucherzahlen des Zoologischen Gartens an. Der folgende Graph beschreibt die Anzahl der Besucher in Abhängigkeit von der Zeit in Stunden im Intervall [0;10,6].

::: [[Datei: Besucher Zoo Graph.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

Die folgende Wertetabellle gibt die genauen Daten an:

{| border="1" cellspacing="0" valign="top"
| width="5%" | Zeit in Stunden nach Öffnung des Zoos
| width="5%" | 0
| width="5%" | 1
| width="5%" | 2
| width="5%" | 3
| width="5%" | 4
| width="5%" | 5
| width="5%" | 6
| width="5%" | 7
| width="5%" | 8
| width="5%" | 9
| width="5%" | 10
| width="5%" | 10,6
|-valign="top"
| Anzahl der Besucher
| 0
| 600
| 950
| 1200
| 1308
| 1249
| 1100
| 1000
| 1050
| 1151
| 837
| 0
|}

{{Aufgaben|3a)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pq8bxyutv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

{{Aufgaben|3b)|In welchen Zeitintervallen nimmt die Besucherzahl ab? In welchen Zeitintervallen nimmt sie zu? Ermittle die Zeitintervalle durch ungefähres Ablesen der Punkte am Graphen. Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Überlege dir, was es bedeutet, wenn der Graph fällt oder steigt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Von 9 bis 13 Uhr nimmt die Besucherzahl zu. Dann fällt die Anzahl der Besucher bis 16:15 Uhr. Im Anschluss steigt sie erneut bis 18 Uhr, bevor sie in den letzten ein drei viertel Stunden bis zum Schließen des Zoos abnimmt.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3c)|Stell Vermutungen auf, wieso sich die Besucherzahl auf die Art und Weise verändert, wie du sie in 3b) bestimmt hast. Notiere deine Ideen auf einem Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Beachte die Uhrzeiten und werde kreativ beim Erklären, weshalb der Graph in einem bestimmten Intervall ab- oder zunimmt.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Lösungsvorschlag:
Viele Besucher kommen bereits am Vormittag zum Zoo, um den Tag ausgiebig zu nutzen. Ein Teil der Menschen verlässt ab 13 Uhr den Zoologischen Garten, weil sie zu Hause Mittag essen und bereits einige Stunden im Park verbracht haben. Ein weiterer Grund für das Fallen der Besucherzahlen zwischen 13 und 16:15 Uhr ist, dass in der Regel die Menschen während der Mittagszeit zu Hause bleiben. Der Anstieg der Besucherzahl zwischen 16:15 Uhr und 18 Uhr könnte durch Vergünstigungen erklärt werden, die der Zoo in die letzten Stunden des Tages gibt, um mehr Besucher anzulocken. Von 18 bis 19:45 Uhr verlassen die Menschen ihren Ausflugsort. Bereits um 19:36 Uhr befinden sich keine Besucher mehr im Zoo, weil in der Regel die Menschen ein paar Minuten vor Schließung den Ort verlassen.
An dieser Stelle sei angemerkt, dass dies nur ein Lösungsvorschlag ist. Solange logisch argumentiert wurde, ist jede Vermutung richtig.

</popup>
}}

{{Aufgaben|3d)|In der folgenden Abbildung siehst du den Punkt P auf dem zuvor eingeführten Graphen und eine rote Gerade.

<iframe scrolling="no" title="Graph Besucher Zoo" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/Ab6qkqg3/width/800/height/600/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="800px" height="600px" style="border:0px;"> </iframe>

Aufgabenteil 1: Was stellt die rote Gerade dar? Und was bedeutet m? Notiere die Lösung auf einem Zettel.

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Gerade stellt die Tangente am Graphen im Punkt P dar und m beschreibt die Steigung der Tangente in P.
</popup>

Aufgabenteil 2: Verschiebe nun den Punkt entlang des Graphen und beobachte die Veränderung der roten Gerade. Jetzt kannst du beantworten, um wie viel sich die Anzahl der Besucher in einem bestimmen Zeitpunkt ändert. Wieso kannst du das mit Hilfe dieser Geraden beantworten? Schreibe deine Vermutung auf einen Zettel.

Brauchst du Hilfe? Dann klicke hier:
<popup name="Hilfe">
Gehe zu der Aufgabe "Was sind nochmal Differenzen- und Differenzialquotient?" zurück. Dort bekommst du einen guten Überblick über die verschiedenen Änderungsraten und darüber, was sie explizit bedeuten. Überlege dir also, welche Änderungsrate du für diese Aufgabe benötigst und stelle eine Verbindung zur Tangente her.
</popup>

Vergleiche deine Lösung hier:
<popup name="Lösung">
Die Steigung der Tangente am Graphen im Punkt P(x|y) ist gleich der momentanen Änderungsrate von dem Graphen an der Stelle x vom Punkt P. Indem du also die Tangentensteigung (also m) kennst, kannst du bestimmen, um wie viel sich die Anzahl der Besucher zum Zeitpunkt x (d. h. zu einer bestimmten Uhrzeit) verändert.
</popup>
}}

{{Aufgaben|3e)|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1wzdxb5k17" style="border:0px;width:100%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

==Aufgabe 4: Vom Differenzen- zum Differenzialquotienten==

{{Aufgabe|Bevor du kennengelernt hast, wie man Ableitungen berechnet, hast du die Ableitung mit Hilfe des Grenzwertes des Differenzenquotienten bestimmt.
Die folgende Grafik verdeutlicht genau diese Vorgehensweise. <br/>
<iframe scrolling="no" title="Vom Differenzen zum Differentialquotienten" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/sARZDGgH/width/757/height/590/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="757px" height="597px" style="border:0px;"> </iframe>

Nach Vorlage von: [https://www.geogebra.org/gert+linhofer Gert Linhofer], [https://www.geogebra.org/lindner Andreas Lindner]

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pkpa9uon517" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
}}

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung

2017-11-22T13:47:52Z

Elena Jedtke:

'''Inhaltsübersicht'''
<br/>

''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5* ''<br/>
''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/>

<popup name="Hinweis zu *">
Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.
</popup>

=== Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale===
<br/>

{{Aufgaben|1|Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!}}
<br/>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1s1zd2av17" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|2|In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.

''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.''}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup name="Hilfe"> Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er? </popup>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|3|Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt.

''Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.''}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf4ayrb5j17" style="border:0px;width:100%;height:750px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br/>

<br/>

{{Aufgaben|4|Wahr oder Falsch?}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psc1spdk517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|5|Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/>
Kannst du ihm helfen? <br/>
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. }}

'''Teil 1)'''

<iframe scrolling="no" title="Tangentensteigung beim Sinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtyjMzaR/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1mo3ok0v17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.

<popup name="Lösung Teil 2">

1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/>

2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/>

3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/>

4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. <br/>
</popup>

<popup name="Begründung 1)"> Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden. </popup>
<popup name="Begründung 2)"> Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich. </popup>
<popup name="Begründung 3)"> Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung, <br/>
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt. </popup>
<popup name="Begründung 4)"> Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. </popup>
<br/>
<br/>

===c) Untersuchung einer Funktion===

<br/>

{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=piymfh66317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|7|Raupenfahrt }}
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. <br/>
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.<br/>
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen.
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe. </popup>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! <br/>
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. <br/>
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." <br/>
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"}}

<br/>

'''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/>
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/>
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).

<br/>
<br/>

<iframe scrolling="no" title="Eine Tangente?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SM67Ex9h/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>
<br/>

<popup name="Hinweis zu a)">

Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?

<popup name="Hinweis a)">
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/>
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>
</popup>

<popup name="Lösung a)">

Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/>
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
<br/>
:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

</popup>

<br/>
<br/>

'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?

<br/>
<br/>

<popup name="Lösung b)">
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. <br/>
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war. <br/>
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.

<iframe scrolling="no" title="Tangente(n) Punkt P(6|6)?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UbVMmQJr/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>

</popup>

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]

Digitale Werkzeuge in der Schule/Die Steigung in einem Punkt - die Ableitung als Tangentensteigung

2017-11-22T13:46:56Z

Elena Jedtke:

'''Inhaltsübersicht'''
<br/>

''a) Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale - Aufgabe 1'' <br/>
''b) Zuordnungsaufgaben bezüglich der Tangentensteigung - Aufgabe 2, 3, 4 und 5* ''<br/>
''c) Untersuchung einer Funktion - Aufgabe 6, 7 und 8*''<br/>

<popup name="Hinweis zu *">
Die Aufgaben mit einem * sind komplexer.
</popup>

=== Unterscheidung Tangente, Sekante und Normale===
<br/>

{{Aufgaben|1|Kannst du die Begriffe unterscheiden? Ordne jedem der drei Begriffe den entsprechenden Graphen zu!}}
<br/>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1s1zd2av17" style="border:0px;width:100%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|2|In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion, in dem einige Punkte mit roten „Stecknadeln“ markiert sind. Wenn du auf die Punkte klickst, werden dir verschiedene Geraden präsentiert. Wähle dort jeweils die Gerade aus, die der Tangente in dem ausgewählten Punkt entspricht.

''Hinweis: Tippe auf das Zeichen für den Vollbildmodus (rechts oben im Applet) und bearbeite die Aufgabe dort.''}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p84w33c8a17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup name="Hilfe"> Überlege zunächst, wie stark sich der Graph an der jeweiligen Stelle bezüglich der Steigung verändert - Wächst oder fällt er? </popup>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|3|Du siehst im Folgenden den Graphen einer Funktion. Bestimme rechnerisch für die x-Werte unter der Abbildung, welche Steigung m die Tangente an diesen Stellen besitzt.

''Hinweis: Wenn du nicht weiterkommst, kannst du auf die Glühbirne oben links im Applet tippen und erhältst einen Tipp.''}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf4ayrb5j17" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe><br/>

<br/>

{{Aufgaben|4|Wahr oder Falsch?}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=psc1spdk517" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|5|Tom ist sich nicht sicher, ob die Karten zu der untenstehenden Sinusfunktion gehören. <br/>
Kannst du ihm helfen? <br/>
Mit dem Regler kannst du die x-Werte im Graphen ändern und erhälst die passende Tangente in dem Punkt. }}

'''Teil 1)'''

<iframe scrolling="no" title="Tangentensteigung beim Sinus" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qtyjMzaR/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p1mo3ok0v17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

'''Teil 2)''' Nachdem du nun die Karten richtig einsortiert hast, erkläre Tom, warum die Karten, die nicht zu der obigen Sinusfunktion passen, falsch sind.

<popup name="Lösung Teil 2">

1) Die Steigung ist zwischen 0 und 2 nicht negativ. <br/>

2) Die Steigung ist in allen x-Werten gleich. <br/>

3) Da diese Sinusfunktion auf der y-Achse um 2 nach oben verschoben wurde, ändert sich die Steigung in allen Punkten. <br/>

4) Die Tangente ist in x = 3 konstant. <br/>
</popup>

<popup name="Begründung 1)"> Begründung: Nachdem die Funktion den y-Wert 3 erreicht hat, fällt die Funktion. Somit muss die Steigung negativ werden. </popup>
<popup name="Begründung 2)"> Begründung: Die Steigung ist nur in linearen Funktionen (g(x) = m*x + b) gleich. </popup>
<popup name="Begründung 3)"> Begründung: Durch die Verschiebung einer Funktion auf der y-Achse verändert sich nicht die Steigung, <br/>
sondern es entstehen parallele Tangenten im jeweiligen Punkt. </popup>
<popup name="Begründung 4)"> Begründung: Tangenten sind nur an den Extrempunkten konstant. </popup>
<br/>
<br/>

===c) Untersuchung einer Funktion===

<br/>

{{Aufgaben|6|Steigung und Koordinaten ablesen}}

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=piymfh66317" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|7|Raupenfahrt }}
Ein Raupenfahreug mit einer Steigfähigkeit von 76% fährt einen Hang hinauf. <br/>
Die Kurve des Hangs lässt sich mit der Funktion f(x)=1/50x² beschreiben.<br/>
Für die Bauarbeiten muss die Raupe bis zur Markierungsstange bei x=20 Meter gelangen, schafft sie das?

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pab2g1ytv17" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup name="Lösung"> Legt man ein Steigungsdreieck an die Tangente am Punkt f(20), so kann man beispielweise die Werte f(15)=4 und f(25)=12 ablesen.
Die Steigung in % lässt sich durch Δy/Δx*100 bestimmen, nimmt man f(15)=4 und f(25)=12 ist Δx=10 und Δy=8.
Die Steigung des Hangs beträgt 80% somit übersteigt diese die Steigfähigkeit der Raupe. </popup>

<br/>
<br/>

{{Aufgaben|8*|Kann es in einem Punkt einer Funktion zwei oder mehr Tangenten geben?! <br/>
Luis und Marie sind sich uneinig. Beide schauen sich den untenstehenden Graphen an. <br/>
Luis sagt: "Wenn ich mir die Steigung im Punkt P(6/6)anschauen, sehe ich zwei Tangenten." <br/>
Marie entgegnet: "Also ich sehe da überhaupt keine Tangente. Da kann gar keine sein, oder?!"}}

<br/>

'''a)''' Überleg dir, welche zwei Tangenten Luis meint und warum? <br/>
Denkst du es gibt hier eine Tangente oder sogar mehrere? <br/>
Zeichne Luis` Tangenten mit dem Graphen in dein Heft und ergänze ggf. deine Tangente(n).

<br/>
<br/>

<iframe scrolling="no" title="Eine Tangente?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/SM67Ex9h/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>
<br/>

<popup name="Hinweis zu a)">

Hast du dir wirklich Gedanken gemacht?

<popup name="Hinweis a)">
Luis betrachtet die Steigung im Punkt P(6|6). <br/>
Dabei schaut er sich die Steigung links und rechts von P an. <br/>
</popup>

<popup name="Lösung a)">

Luis hat sich überlegt, wie die Steigung links und rechts vom Punkt P(6|6) ist.
Falls es jedoch eine Steigung in einem Punkt einer Funktion gibt, so muss diese eindeutig sein. <br/>
Ansonsten ist die Funktion nicht differenzierbar.
<br/>
:::[[Datei:Zwei Tangenten.png|rahmenlos|500px|Fläche 1]]

</popup>

<br/>
<br/>

'''b)''' Zeichne die Steigung der Funktion in dein Heft. Du kannst dich auf die Intervalle [0;6] und [6;12] beschränken.
Wie verläuft die Steigung und was passiert im Punkt P(6|6)?

<br/>
<br/>

<popup name="Lösung b)">
Die Steigung verläuft im Intervall [0;6] und [6;12] linear. Jedoch gibt es im Punkt P(6|6) einen Sprung. <br/>
Hier ist die Ableitung also nicht stetig (zusammenhängend) und daher im Intervall [0;12] nicht differenzierbar, wie oben schon zu sehen war. <br/>
Damit du die Ableitung in einem Punkt berechnen kannst, muss die Funktion dort auch differenzierbar sein.

<iframe scrolling="no" title="Tangente(n) Punkt P(6|6)?" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/UbVMmQJr/width/700/height/505/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="800px" height="505px" style="border:0px;"> </iframe>

</popup>

[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule]]