Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert

<u></u><div style="padding:50px;background: #008B00;border:0px groove;">

<div style="margin:0; margin-right:50px; margin-left:50px; border:5px solid #FFFFFF; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFFFFF; align:left;">
<big><span style="color:#C00000">&nbsp;

<span style="color:#FFC125">&nbsp;<span style="font-size:25pt;">Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert</span>
<br />
<br />


In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
<br /><br />
→   Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
→   Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind? 
<br /><br />
Und wie kann man solche Aufgaben lösen?
<br /><br />

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst erkläre ich dir jetzt.<br />
<br />

Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:

 <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
 In Worten:
 Der  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> vom <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>.
 
<br />

'''Begriffserklärung:'''
<br /><br />

Der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der Ausgangswert. 
<br />

Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist immer ein Anteil, ausgedrückt in '''Prozent'''. 
<br />

Der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert. 
<br />
<br />

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.
<br />

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1: 
<br /><br />


<span style="color: #FF4040">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #76EE00">'''30%'''</span>

<br /><br />

→ Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>,
<br />

→ die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
<br />

→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
<br />
<br />

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br />
<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span>
<br /><br />
<br />

Teste hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
<br /><br />

<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFC125; align:left;">
<popup name= 1.Aufgabe>

<div class="lueckentext-quiz">

Bei der '''Berechnung''' von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert geht es um das Ausrechnen von '''Teilen des Ganzen''', des Ganzen selbst, bzw. des Teiles, welcher in Prozent angegeben werden soll.<br />
Das Ganze, heißt '''Grundwert'''. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.<br />
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt '''Prozentsatz'''. <br />
Wenn man ihn mit dem Grundwert '''multipliziert''' erhält man den '''Prozentwert''', der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.

</div>

</popup>
<br />

<popup name= 2.Aufgabe>

<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

</popup>
</div>
<br />


Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>, verwendet man diese Gleichung: 
<br />
 <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
<br />
Und wenn der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> gesucht ist, brauchst du zur Berechnung diese Gleichung:
<br />
 <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
<br />

<popup Name= Herleitung>
<br />

[[Datei:Dreisatz.png|300px|thumb|align:right|Dreisatz]]
<span style="color: #00B2EE">'''Herleitung Grundwert:'''</span> <br />
Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br />
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?
<br />

Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
<br />
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.
<br />

Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)
<br />

<br />
Daraus ergibt sich dann die Gleichung: <br /><br />

<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
<br />
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ &middot; <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ &middot; 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span>
<br /><br />


[[Datei:Bildschirmfoto 2018-03-31 um 22.01.28.png|300px|thumb|]]
<span style="color: #76EE00">'''Herleitung Prozentsatz:'''</span> <br />
Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br />
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?

Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
<br />
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br />
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
<br />

Daraus ergibt sich <math>\frac{1}{100} </math> • 20 =  <math>\frac{20}{100} </math> = 20%.
<br />

Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:
<br /><br />

<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span><br />
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span>
<br />


</popup>
<br />

Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !
<br />


<div style="margin:0; margin-right:4px; margin-left:4px; border:5px solid #FFC125; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#FFC125; align:left;">

<popup name= 1.Aufgabe>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvo0sfn9518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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</popup>
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<popup name= 2.Aufgabe>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pam9rza8318" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
</popup>
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<popup name= 3.Aufgabe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6x7i8yxn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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</popup>

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<popup name= 4.Aufgabe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po15gtre218" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />

</popup>

<br />

<popup name= 5.Aufgabe>
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwynjbxjn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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</popup>

</div>

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