Symmetrie von ganzrationalen Funktionen

{{Aufgaben|1 Wahr oder falsch?|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pv4yx7vst19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Lösung">Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge <math>D<sub>f</sub></math> ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich: <math>f(-x)=f(x)</math> gilt.
Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge <math>D<sub>f</sub></math> ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich: '''<math>f(-x)=-f(x)</math>''' gilt.
Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm nur '''gerade''' Exponenten enthält.
Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält.
Man bezeichnet eine Funktion als gerade Funktion, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.</popup>
}}

{{Aufgaben|2|
'''a)'''
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p5njp3xva19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup Name="Tipp"> Multipliziert die Gleichungen erst aus, bevor ihr entscheidet.</popup>
<popup Name="Tipp"> Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Gleichung nur '''gerade Exponenten''' und das absolute Glied (<math>a\cdot x^0</math>) enthält.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur '''ungerade Exponenten''' enthält.</popup>
<popup Name="Tipp">Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: <math>f(-x)=f(x)</math>.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x gilt: <math>f(-x)=-f(x)</math></popup>
<popup Name="Lösung"> Punktsymmetrie: <math>f(x)=x^3</math>,<math>f(x)=-x^3</math>,<math>f(x)=x^5</math>,<math>f(x)=x^5+x^3+x</math>,<math>f(x)=(x-3)*x*(x+3)</math>,<math>f(x)=(x^2-9)*x</math>

Achsensymmetrie: <math>f(x)=x^2</math>,<math>f(x)=-x^2</math>,<math>f(x)=x^4</math>,<math>f(x)=x^4-x^2</math>,<math>f(x)=(x^2-9)*(x^2-16)</math>

Keine Symmetrie: <math>f(x)=x^2+x</math>,<math>f(x)=2x-3</math>,<math>f(x)=x^2+x+2</math>,<math>f(x)=x^4-3x^3+x</math>,<math>f(x)=(x-1)*x*(x^2-4)</math>,<math>f(x)=-x^5-2x^3+x+2</math></popup>

'''b)''' Greift euch drei Beispiele heraus und schreibt eine ausführliche Begründung für eure Einordnung.
<popup Name="Lösung">Bsp.: <math>f(x)=x^5+x^3+x</math>, die Gleichung hat die Exponenten 5,3,1. Diese sind allesamt ungerade, also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.</popup>
}}

{{Aufgaben|3| Für welche t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse?

'''a)'''<math>f(x)=x^t+x^2</math>

'''b)'''<math>f(x)=x^3-x+t</math>

'''c)'''<math>f(x)=(x+t)^2-4x</math>

'''d)'''<math>f(x)=(x-t)(x+3)</math>

'''e)'''<math>f(x)=tx^4+x^3-4x</math>

'''f)'''<math>f(x)=x^3+2x^t</math>

<popup Name="Tipp">'''a),f)'''Es gibt mehr als eine Lösung.
'''c)'''Klammer ausmultiplizieren.
'''d)'''Beachte die dritte binomische Formel.</popup>
<popup Name="Lösung">'''a)'''Für alle geraden t, also …-4,-2,0,2,4,6,... --> Achsensymmetrie

'''b)'''Für t=0 --> Punktsymmetrie

'''c)'''Für t=2 --> Achsensymmetrie 

'''d)'''Für t=3 --> Achsensymmetrie

'''e)'''Für kein t --> keine Symmetrie

'''f)'''Für alle ungeraden t, also …-3,-1,1,3,5,... --> Punktsymmetrie
</popup>
}}

{{Merke| <iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/_lHBWkerHjI" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>}}