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Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen

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#Fülle die '''Wertetabelle''' vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst.<br />Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig.<br />
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#Fülle die '''Wertetabelle''' vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst. Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig.<br />
 
#Übertrage die berechneten Punkte in das '''GeoGebra-Applet''' und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen".<br />
 
#Übertrage die berechneten Punkte in das '''GeoGebra-Applet''' und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen".<br />
 
#Wie verhält sich die Funktion f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte?<br /></big>
 
#Wie verhält sich die Funktion f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte?<br /></big>
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Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:<br />
 
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'''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' = <math>\frac{4x-3}{x}</math> = <math>\frac{4x}{x}</math> - <math>\frac{3}{x}</math> = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - <math>\frac{3}{x}</math><br />
 
'''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' = <math>\frac{4x-3}{x}</math> = <math>\frac{4x}{x}</math> - <math>\frac{3}{x}</math> = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - <math>\frac{3}{x}</math><br />
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Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' unverändert bleibt.<br />
 
Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' unverändert bleibt.<br />
 
Also nähert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' für immer größer werdende x- Werte immer mehr '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - 0 = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an.
 
Also nähert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' für immer größer werdende x- Werte immer mehr '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - 0 = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an.
  
  
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Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten wird mathematisch durch den '''''Limes von f (x) für x gegen + <math>\infty</math>''''' dargestellt:<br />
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Die Betrachtung einer Funktion f unter immer '''<span style="color: red">größer</span>''' werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:<br />
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Durch den '''''Limes von f für x gegen - <math>\infty</math>''''' wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.
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Durch den '''''Limes von f für x gegen '''<span style="color: red">-</span>''' <math>\infty</math>''''' wird untersucht, wie sich f (x) für immer '''<span style="color: red">kleiner</span>''' werdende x- Werte verhält.
  
  
 
In unserem Beispiel können wir schreiben:<br />
 
In unserem Beispiel können wir schreiben:<br />
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<math>\lim_{x \to \infty}f (x)</math> = <math>\lim_{x \to \infty}\frac{4x-3}{x}</math>  = <math>\lim_{x \to \infty}4  -  \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x}</math>  = 4 - 0 = 4<br />
 
<math>\lim_{x \to \infty}f (x)</math> = <math>\lim_{x \to \infty}\frac{4x-3}{x}</math>  = <math>\lim_{x \to \infty}4  -  \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x}</math>  = 4 - 0 = 4<br />
 
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Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - <math>\infty</math> untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.<br />
 
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - <math>\infty</math> untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.<br />
 
Damit heißt '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' der '''<span style="color: #EE7600 ">Grenzwert</span>''' der Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">f</span>''' für x gegen + <math>\infty</math> und gegen - <math>\infty</math>.<br />
 
Damit heißt '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' der '''<span style="color: #EE7600 ">Grenzwert</span>''' der Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">f</span>''' für x gegen + <math>\infty</math> und gegen - <math>\infty</math>.<br />
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Version vom 10. Juni 2013, 12:49 Uhr


Will man anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf des Graphens machen, muss man auch wissen, wie sich die Funktion für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte verhält.
Anschaulich gesprochen: Man betrachtet den Funktionsgraphen am rechen und linken Bildrand.

Bei ganzrationalen Funktionen hast du bereits vier Fälle über den charakteristischen Verlauf einer Funktion kennen gelernt.


Auch mit dem Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen für immer größer werdende x- Werte hast du dich schon auseinandergesetzt.
Dieses Wissen wird jetzt vertieft.


Hierfür ein Beispiel:

f(x)=\frac{4x-3}{x}

  1. Fülle die Wertetabelle vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst. Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig.
  2. Übertrage die berechneten Punkte in das GeoGebra-Applet und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen".
  3. Wie verhält sich die Funktion f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte?




  • Über die beiden Kontrollkästchen lässt sich der Graph der Funktion f und die Gerade, an die sich f annähert, anzeigen.
  • Mit dem letzten Symbol "Verschiebe Zeichenblatt" in der Werkzeugleiste kannst du dir die beiden Graphen auch über den eigentlichen Bildrand hinweg anschauen.
  • Unter dem gleichen Symbol lässt sich auch das Werkzeug "Vergrößere" auswählen.
    Sieh dir genau an, ob sich die beiden Graphen berühren!


Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:

f (x) = \frac{4x-3}{x} = \frac{4x}{x} - \frac{3}{x} = 4 - \frac{3}{x}

Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch \frac{3}{x} immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.
Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an.


Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten schreibt man mathematisch:

Limes von f (x) für x gegen + \infty:


\lim_{x \to \infty}f (x)


Durch den Limes von f für x gegen - \infty wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.


In unserem Beispiel können wir schreiben:

\lim_{x \to \infty}f (x) = \lim_{x \to \infty}\frac{4x-3}{x} = \lim_{x \to \infty}4 - \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x} = 4 - 0 = 4

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - \infty untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.
Damit heißt 4 der Grenzwert der Funktion f für x gegen + \infty und gegen - \infty.


Allgemein gilt:
Nähert sich der Graph einer Funktion für immer größer werdende x-Werte einer Zahl a immer weiter an, so nennt man a den Grenzwert von f für x gegen + \infty:
In mathematischer Schreibweise: \lim_{x \to \infty}f (x) = a

Die Gerade y = a ist dann eine waagrechte Asymptote für den Graphen von f.

Äquivalent dazu definiert man den Grenzwert einer Funktion für immer kleiner werdende x- Werte, also für x gegen - \infty.



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Manipulationen an Funktionen

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