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| − | Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der '''Grenzwert''' der Funktion f für x <math>\rightarrow\</math>+<math>\infty</math>. Die '''waagrechte Asymptote''' für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade y=G. | + | Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der '''Grenzwert''' der Funktion f für x <math>\rightarrow\</math>+<math>\infty</math>. <br />Der Grenzwert einer Funktion f(x) für '''immer kleiner werdende x-Werte''' beträgt <math>\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)</math>, gesprochen: "Limes von f(x) für x gegen -<math>\infty</math>". <br />Die '''waagrechte Asymptote''' für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade '''y=G'''. f heißt '''divergent''' wenn sich die Funktion f(x) für immer größer werdende x-Werte keiner festen Grenze annähert, sondern beispielsweise gegen -<math>\infty</math> fällt. Man schreibt: <math>\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)</math>= -<math>\infty</math>. |
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Aktuelle Version vom 19. Juli 2013, 09:14 Uhr
Lückentext-Quiz zum Thema "Manipulationen an Funktionen"
1. Symmetrie
Alle Exponenten, die in einem Funktionsterm auftauchen müssen gerade sein, um Achsensymmetrie zur y-Achse vorweisen zu können. Wenn der Funktionsterm einer geraden Funktion (= nur gerade Exponenten) vorliegt, kann man auf den Graphen der Funktion schließen, da alle gleich weit vom Ursprung entfernte x-Werte zugleich Achsensymmetrie zur y-Achse bedeuten. Daraus folgt: f(x)= f(-x).
Eine Funktion f(x), die nur ungerade Exponenten besitzt ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Punktsymmetrie zum Ursprung zeigt sich am Graphen dadurch, dass alle Punkte gleich weit vom Ursprung entfernt sind, jedoch unterschiedliche Vorzeichen haben. Daraus folgt: f(-x)= -f(x)
2. Verschiebung
Bei einer Verschiebung eines Graphen der Funktion f wird der Graph um a Einheiten in x-Richtung bzw. um b Einheiten in y-Richtung verschoben. Ist a>0 wird der Graph nach rechts verschoben, bei a<0 nach links. Für b>0 wird der Graph nach oben, in positive Richtung, bei b<0 nach unten in negative Richtung verschoben.
Folglich sorgt a unabhängig von b für eine Verschiebung auf der x-Achse, bzw. b unabhängig von a für eine Verschiebung auf der y-Achse.
Allgemein gilt: g(x)=f(x+a)+b
3. Streckung und Spiegelung
Bei einer Funktion der Form g(x)= -a⋅f(x) handelt es sich bei a um den Streckungsfaktor, der den Graphen in y-Richtung streckt. Zudem wird der Graph durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelt.
Bei einer Funktion der Form g(x)=f(-a⋅x) beträgt der Streckungsfaktor stets 1/a, der die Funktion in x-Richtung streckt. Durch das negative Vorzeichen in der Klammer wird der Graph an der y-Achse gespiegelt.
4. Grenzwerte im Unendlichen
Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der Grenzwert der Funktion f für x Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \rightarrow\
+
.
Der Grenzwert einer Funktion f(x) für immer kleiner werdende x-Werte beträgt 
, gesprochen: "Limes von f(x) für x gegen -".
Die waagrechte Asymptote für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade y=G. f heißt divergent wenn sich die Funktion f(x) für immer größer werdende x-Werte keiner festen Grenze annähert, sondern beispielsweise gegen - fällt. Man schreibt: 
= -.
