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=Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt= | =Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt= | ||
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| − | < | + | <div style="margin:0; margin |
| + | -right:3px; margin | ||
| + | -left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em | ||
| + | 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px | ||
| + | " | ||
| + | cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top"> | ||
| + | Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der '''Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt.''' | ||
| − | + | In den '''Aufgaben 1 und 2''' wird die grundlegende Vorstellung von Sekante und Tangente behandelt. | |
| − | + | ||
| − | + | In den '''Aufgaben 3, 4 und 5''' geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | '''Aufgabe 6''' behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt. | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | == | + | (Aufgaben 7 und 8) |
| + | </td></tr></table></center> | ||
| + | </div> | ||
| + | ==Lückentexte zu Tangente und Sekante== | ||
| + | {{Aufgaben|1| | ||
| + | |||
| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pmdztmg4j18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | {{Aufgaben|2| | ||
In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x<sub>0</sub> und h einstellen kannst. | In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x<sub>0</sub> und h einstellen kannst. | ||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf5x5ysw218" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pf5x5ysw218" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| + | }} | ||
| − | == | + | ==Tangentengleichung aufstellen== |
| + | {{Aufgaben|3| | ||
| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pqbh8gmmn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| + | }} | ||
| + | {{Aufgaben|4| | ||
| + | a) | ||
| + | Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion <math>f(x)=-1/3x^2+3</math> im Punkt <math>x=-3</math>. | ||
| + | <popup name="Tipp">Falls du dich nicht mehr an die Vorgehensweise erinnern kannst, kannst du Aufgabe 3 zur Hilfe nehmen.</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Die Gleichung der Tangente lautet <math>y=2x+6</math>.</popup> | ||
| + | |||
| + | b) | ||
| + | In welchem Punkt berührt die Tangente <math>y=x+1</math> den Graphen <math>f(x)=x^3+3x^2+3x+1</math>? | ||
| + | <popup name="Tipp">Um den Berührpunkt zu berechnen, musst du die beiden Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen.</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung"><iframe scrolling="no" title="Schnittpunkt" <iframe scrolling="no" title="Schnittpunkt" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/qbryas8j/width/1536/height/689/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1536px" height="689px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| + | <popup name="Lösung 2"> Die Tangente berührt den Graphen in den Punkten (0|1), (-1|0), (-2|-1).</popup>}} | ||
| + | |||
| + | |||
| + | {{Aufgaben|5| | ||
| + | |||
| + | Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion <math>f(x)=(x-1)^2+1</math> so, dass die Tangente (g) senkrecht zur Tangente (a) an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist. | ||
| + | |||
| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pqun2pnya18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| + | <iframe scrolling="no" title="Bild2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ue7m4k7c/width/1536/height/689/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="1536px" height="689px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| + | |||
| + | <popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup> | ||
| + | <popup name="Tipp 2">Falls m<sub>1</sub> * <math>m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Die Gleichung der Tangente lautet <math>g(x)=-2x+2</math>.</popup> | ||
| + | |||
| + | }} | ||
| + | |||
| + | ==Ableitung und Steigung== | ||
| + | {{Aufgaben|6| | ||
Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen ''richtig'' oder ''falsch'' sind. | Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen ''richtig'' oder ''falsch'' sind. | ||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwhjkhu0j18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwhjkhu0j18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| + | }} | ||
| − | == | + | ==Forderaufgaben== |
| − | + | {{Aufgaben| 7| | |
| − | + | ||
In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Auf der rechten Seite der Abbildung siehst du alles vergrößert. | In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Auf der rechten Seite der Abbildung siehst du alles vergrößert. | ||
| − | Probiere zunächst aus, was passiert wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. | + | Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. |
| − | Bewerte folgende Aussage "Wenn man sehr | + | Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum? |
| − | + | ||
| − | == | + | Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung. |
| + | <iframe scrolling="no" title="Lokale Linearität" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/gXCupvH5/width/927/height/553/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="927px" height="553px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| + | <popup name="Lösung"> Wenn du an der Abbildung auprobiert hast, wirst du genau das sehen:Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden. </popup> | ||
| + | }} | ||
| + | {{Aufgaben| 8| | ||
In der untenstehenden Grafik siehst du eine Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben. | In der untenstehenden Grafik siehst du eine Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben. | ||
| − | + | '''a)''' | |
Bestimme mithilfe der Abbildung die Ableitung der Funktion im Punkt P. | Bestimme mithilfe der Abbildung die Ableitung der Funktion im Punkt P. | ||
| − | + | '''b)''' | |
Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also die Punkte in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt könnte ich zwei Tangenten einzeichnen! Was bedeutet das denn für die Ableitung?" | Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also die Punkte in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt könnte ich zwei Tangenten einzeichnen! Was bedeutet das denn für die Ableitung?" | ||
Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Findest du auch zwei Tangenten? Kann es überhaupt zwei Tangenten in einem Punkt geben? Wie würdest du Lisas Frage beantworten: Was bedeutet das für die Ableitung in diesem Punkt? und für die Ableitung der Funktion? | Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Findest du auch zwei Tangenten? Kann es überhaupt zwei Tangenten in einem Punkt geben? Wie würdest du Lisas Frage beantworten: Was bedeutet das für die Ableitung in diesem Punkt? und für die Ableitung der Funktion? | ||
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<iframe scrolling="no" title="Differenzierbarkeit von Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mpgmucwe/width/700/height/500/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe> | <iframe scrolling="no" title="Differenzierbarkeit von Funktionen" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/mpgmucwe/width/700/height/500/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| − | <popup name="Tipp"> zu a) Mach dir klar, wie dir die eingezeichnete Tangente helfen kann. Wie hängt die | + | <popup name="Tipp"> |
| + | zu a) Mach dir klar, wie dir die eingezeichnete Tangente helfen kann. Wie hängt die Tangente mit der Ableitung zusammen? Dann kannst du die Lösung einfach ablesen. | ||
zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten. </popup> | zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten. </popup> | ||
<popup name="Lösung zu a)"> Steigung der Tangenten m=0,91, also ist auch die Ableitung der Funktion in P 0,91. </popup> | <popup name="Lösung zu a)"> Steigung der Tangenten m=0,91, also ist auch die Ableitung der Funktion in P 0,91. </popup> | ||
| − | <popup name="Lösung zu b)"> Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt. </popup> | + | <popup name="Lösung zu b)"> Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt. </popup>}} |
Aktuelle Version vom 28. November 2018, 19:32 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt
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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt. In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekante und Tangente behandelt. In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen. Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt. (Aufgaben 7 und 8) |
Lückentexte zu Tangente und Sekante
 Aufgabe 1
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| Aufgabe 2
In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x0 und h einstellen kannst. Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.
Benötigst du einen Tipp? Dann klicke auf die Glühbirne in der oberen linken Ecke des Lückentextes. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".
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Tangentengleichung aufstellen
| Aufgabe 3
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| Aufgabe 4
a)
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion b)
In welchem Punkt berührt die Tangente |
im Punkt 
.
.
den Graphen 
?
| Aufgabe 5
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so, dass die Tangente (g) senkrecht zur Tangente (a) an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist.
gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit 
sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)
.Ableitung und Steigung
| Aufgabe 6
Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind. Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t mit deiner Maus bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen.
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Forderaufgaben
| Aufgabe 7
In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Auf der rechten Seite der Abbildung siehst du alles vergrößert. Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum? Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung. |
| Aufgabe 8
In der untenstehenden Grafik siehst du eine Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben. a) Bestimme mithilfe der Abbildung die Ableitung der Funktion im Punkt P.
Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Findest du auch zwei Tangenten? Kann es überhaupt zwei Tangenten in einem Punkt geben? Wie würdest du Lisas Frage beantworten: Was bedeutet das für die Ableitung in diesem Punkt? und für die Ableitung der Funktion?
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