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Graphisches Ableiten: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top">  
 
<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top">  
 
   
 
   
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In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen einer Funktion und ihrer Ableitung stehen hier im Vordergrund. Im Folgenden findest du Aufgaben, um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch, um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst.
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"Bei einer Kurvendiskussion werden markante Punkte gesucht, die uns Auskunft über die Eigenschaften einer Funktion geben. Das wichtigste Hilfsmittel ist dabei die Ableitung. Kenntnisse über den Zusammenhang einer Funktion und ihrer Ableitung sind daher grundlegend für die Analysis. In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Im Folgenden findest du Aufgaben um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst."
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==Aufgabe 1 Graphen zuordnen==
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__TOC__
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{{Aufgaben|1 (Förderaufgabe)|Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu, indem du jeweils zwei Kästchen per Mausklick zusammenführst. Das erreichst du, indem du die linke Maustaste über einem Kästchen gedrückt hältst und das Kästchen anschließend bewegst. Klicke anschließend auf den blauen Punkt in der rechten unteren Ecke der Aufgabe, um deine Lösungen zu kontrollieren.}}
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==Förderaufgaben==
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{{Aufgaben|1 Graphen zuordnen|Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu, indem du jeweils zwei Kästchen per Mausklick zusammenführst. Das erreichst du, indem du die linke Maustaste über einem Kästchen gedrückt hältst und das Kästchen anschließend bewegst. Klicke anschließend auf den blauen Punkt in der rechten unteren Ecke der Aufgabe, um deine Lösungen zu kontrollieren.
  
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 
<popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup>
 
<popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Schau dir die Graphen von f(x) an, erkennst du markante Punkte?</popup>
 
<popup name="Tipp 2">Schau dir die Graphen von f(x) an, erkennst du markante Punkte?</popup>
 
<popup name="Tipp 3">Markante Punkte sind Hoch-/Tiefpunkte (Extremstellen), Wendestellen, Sattelpunkte und Nullstellen. Wie ist hier der Zusammenhang von Funktion und Ableitung?</popup>
 
<popup name="Tipp 3">Markante Punkte sind Hoch-/Tiefpunkte (Extremstellen), Wendestellen, Sattelpunkte und Nullstellen. Wie ist hier der Zusammenhang von Funktion und Ableitung?</popup>
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<popup name="Tipp 4">Wo der Graph fällt, ist die Ableitung negativ. Wo der Graph steigt, ist die Ableitung positiv. Bei einer Extremstelle des Graphen hat die Ableitung eine Nullstelle.</popup>
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<popup name="Tipp 4">Wo der Graph fällt, ist die Ableitung negativ. Wo der Graph steigt, ist die Ableitung positiv. Bei einer Extremstelle des Graphen hat die Ableitung eine Nullstelle.</popup> }}
  
  
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== Aufgabe 2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus? ==
 
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{{Aufgaben|2 (Förderaufgabe)|Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze.}}
 
  
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[[Datei:Aufgabe 3.png|f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)|600px|links|rahmenlos]]<br />
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{{Aufgaben|2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus?|Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze.
  
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[[Datei:Aufgabe 3.png|f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)|800px|links|rahmenlos]]<br />
  
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width:70%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
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<popup name="Tipp 'Grad bestimmen'">Den Grad einer Funktion kann man am höchsten Exponenten ablesen. Er gibt die maximale Anzahl an Nullstellen an.</popup> }}
  
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==Bereit für die Forderaufgaben? Teste dein Wissen! ==
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{{Aufgaben|3 Wer wird Millionär?|Finde die richtige Antwort. Du kannst die App mit einem Klick auf das Zeichen oben rechts im Vollbildmodus anzeigen lassen.
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
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<popup name="Tipp 500">Welchen Grad hat beispielsweise die Funktion f(x)=x²?</popup>
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<popup name="Tipp 1000">Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Sie gibt Auskunft über die Steigung an dieser Stelle. Überlege, welche Steigung diese "besondere" Tangente hat.</popup>
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<popup name="Tipp 5000">"Oberhalb" der x-Achse bedeutet: f'(x) ist positiv.</popup>
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<popup name="Tipp 50000">Die allgemeine lineare Funktionsgleichung lautet: f(x)=mx+b.</popup>
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<popup name="Tipp 250000">An einer Wendestelle ist die Steigung maximal bzw. minimal.</popup>
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<popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle.</popup> }}
  
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==Forderaufgaben==
  
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{{Aufgaben|4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?|
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'''a)''' Die Abbildung zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen.
  
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[[Datei:Aufgabe 4n.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x|600px|links|rahmenlos]]<br />
  
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width:60%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
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<popup name="Tipp 'Grad bestimmen'">Den Grad einer Funktion kann man am höchsten Exponenten ablesen. Er gibt die maximale Anzahl an Nullstellen an.</popup>
 
  
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== Aufgabe 3 Teste dein Wissen! ==
 
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{{Aufgaben|3 (Förder- & Forderaufgabe)|Finde die richtige Antwort.}}
 
  
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
  
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<popup name="Tipp 500">Welchen Grad hat beispielsweise die Funktion f(x)=x²?</popup>
 
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<popup name="Tipp 1000">Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Sie gibt Auskunft über die Steigung an dieser Stelle. Überlege, welche Steigung diese "besondere" Tangente hat.</popup>
 
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<popup name="Tipp 5000">"Oberhalb" der x-Achse bedeutet: f'(x) ist positiv.</popup>
 
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<popup name="Tipp 50000">Die allgemeine lineare Funktionsgleichung lautet: f(x)=mx+b.</popup>
 
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<popup name="Tipp 250000">An einer Wendestelle ist die Steigung maximal bzw. minimal.</popup>
 
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<popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle.</popup>
 
  
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== Aufgabe 4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?==
 
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{{Aufgaben|4 (Forderaufgabe)|}}
 
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'''a)''' Die Abbildung zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen.}}
 
  
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[[Datei:Aufgabe 4.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x|600px|links|rahmenlos]]<br />
 
  
  
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<popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup>
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<popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative beziehungsweise positive Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion?</popup>
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<popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup>
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<popup name="Lösung">Der rote Graph ist der Graph von f(x). Wenn f'(x) negativ ist, fällt f(x). Ist f'(x) positiv, so steigt f(x). An den Nullstellen von f'(x) sind die Extrema von f(x).
  
  
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[[Datei:Lösung 4n.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5xF(x)=(3/4)x^(4)+(2/3)x^(3)-(5/2)x^(2)|600px|links|rahmenlos]]<br />
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</popup>
  
  
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'''b)''' Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von F(x) und was passiert mit ihr, wenn man F(x) ableitet?
  
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<popup name="Lösung">
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Im Bild siehst du den Graph der Ableitungsfunktion f' in grün. Die einfachst Möglichkeit einer Stammfunktion ist die Funktion f deren Graph hier in rot abgebildet ist. Die Funktion g erhält man durch das addieren der Konstante 3, der Graph ist hier in blau dargestellt. Bei der Funktion h wurde die Konstante 2 abgezogen, sie ist hier in lila dargestellt.
  
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<math>f'(x)=3x^3+2x^2-5x</math>
  
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<math>f(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2</math>
  
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<math>g(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2+3</math>
  
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<math>h(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2-2</math>
  
  
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[[Datei:Lösung 4b.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5xF(x)=(3/4)x^(4)+(2/3)x^(3)-(5/2)x^(2)|600px|links|rahmenlos]]<br />
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</popup>}}
  
  
  
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{{Aufgaben|5 Zugfahrt|Auf der Fahrt zwischen Münster und Münster Hiltrup erreichen die Züge einmal die Geschwindigkeit von 120km/h. Die Funktion f(x) beschreibt die Geschwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke, dabei stehen die x-Werte für die gefahrene Zeit in Minuten und die Funktionswerte f(x) für die gefahrene Geschwindigkeit. Die Funktionswerte findest du in der Tabelle unten.
  
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<popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup>
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'''a)''' Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.
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<popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative beziehungsweise positive Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion?</popup>
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<popup name="Tipp">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup>
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<popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup>
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'''b)''' Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von f(x) und was passiert mit ihr, wenn man f(x) ableitet?
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'''b)''' Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?
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== Aufgabe 5 Sonnenstunden ==
+
<popup name="Tipp">Wie viele Extrema gibt es?</popup>
−
{{Aufgaben|5 (Forderaufgabe)|Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte f(x) für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an:}}
+
 
 +
'''c)''' Welchen Grad hat die Ableitung?
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<popup name="Tipp">Wie hilft dir hier Aufgabenteil b?</popup>
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'''d)''' Wann ändert sich die Geschwindigkeit am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.
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<popup name="Tipp">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 5)</popup> }}
  
 
{| class="wikitable"
 
{| class="wikitable"
 
|-
 
|-
−
! x !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 !! 6 !! 7 !! 8 !! 9 !! 10 !! 11 !! 12
+
! x !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5  
 
|-
 
|-
−
| f(x) || 77 || 57 || 148 || 138 || 201 || 194 || 188 || 168 || 116 || 90 || 25 || 13
+
| f(x) || 0 || 76,8 || 115,2 || 115,2 || 76,8 || 0
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
  
−
'''a)''' Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.
+
<popup name="Lösung zu a)">Die Funktion kannst du anhand der Werte aus der Tabelle zeichnen. Die Ableitung ist hier in rot zu sehen.
  
  
−
'''b)''' Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?
+
[[Datei:Lösung 5n.png|f(x)=-19,2x^(2)+96xf'(x)=-38,4x+96|600px|links|rahmenlos]]</popup>
  
 +
<popup name="Lösung zu b)">Die Funktion hat Grad 2, da sie ein Extremum besitzt.</popup>
  
−
'''c)''' Welchen Grad hat die Ableitung?
+
<popup name="Lösung zu c)">Die Ableitung hat Grad 1.</popup>
−
 
+
  
−
'''d)''' Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.
+
<popup name="Lösung zu d)">Die Geschwindigkeit ändert sich am stärksten in der ersten sowie der letzten Minute der Fahrt. In der ersten Minute beschleunigt der Zug am stärksten, in der letzten Minute bremst er am stärksten ab.</popup>
  
−
<popup name="Tipp a">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup>
+
[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]
−
<popup name="Tipp b">Wie viele Extrema gibt es?</popup>
+
−
<popup name="Tipp c">Wie hilft dir hier Aufgabenteil b?</popup>
+
−
<popup name="Tipp d">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 12)</popup>
+

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:01 Uhr

In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen einer Funktion und ihrer Ableitung stehen hier im Vordergrund. Im Folgenden findest du Aufgaben, um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch, um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst.


  • Wenn dir das Thema noch Schwierigkeiten bereitet, beginne mit den Förderaufgaben (Aufgabe 1 bis Aufgabe 3).
  • Wenn du dich bereits sicher fühlst, probiere die Forderaufgaben (Aufgabe 3 bis Aufgabe 5).


Inhaltsverzeichnis


Förderaufgaben

Stift.gif   Aufgabe 1 Graphen zuordnen

Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu, indem du jeweils zwei Kästchen per Mausklick zusammenführst. Das erreichst du, indem du die linke Maustaste über einem Kästchen gedrückt hältst und das Kästchen anschließend bewegst. Klicke anschließend auf den blauen Punkt in der rechten unteren Ecke der Aufgabe, um deine Lösungen zu kontrollieren.



Stift.gif   Aufgabe 2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus?

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze.

f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)
















Bereit für die Forderaufgaben? Teste dein Wissen!

Stift.gif   Aufgabe 3 Wer wird Millionär?

Finde die richtige Antwort. Du kannst die App mit einem Klick auf das Zeichen oben rechts im Vollbildmodus anzeigen lassen.

Forderaufgaben

Stift.gif   Aufgabe 4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?

a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen.

f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x


















b) Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von F(x) und was passiert mit ihr, wenn man F(x) ableitet?


Stift.gif   Aufgabe 5 Zugfahrt

Auf der Fahrt zwischen Münster und Münster Hiltrup erreichen die Züge einmal die Geschwindigkeit von 120km/h. Die Funktion f(x) beschreibt die Geschwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke, dabei stehen die x-Werte für die gefahrene Zeit in Minuten und die Funktionswerte f(x) für die gefahrene Geschwindigkeit. Die Funktionswerte findest du in der Tabelle unten.

a) Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.

b) Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?

c) Welchen Grad hat die Ableitung?

d) Wann ändert sich die Geschwindigkeit am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.

x 0 1 2 3 4 5
f(x) 0 76,8 115,2 115,2 76,8 0
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