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Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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(→‎Anwendungsaufgabe "Rakete")
 
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{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|  
 
{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform|  
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Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />
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Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:<br />
  
 
<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
 
<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
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== Scheitelpunktform und Normalform ==
 
== Scheitelpunktform und Normalform ==
  
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{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
+
{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
 
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=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
 
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
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{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
+
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<popup name="Tipp 1">
 
<popup name="Tipp 1">
 
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
 
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
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\end{array}
 
\end{array}
 
</math>
 
</math>
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</popup><br />
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</popup>}}
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=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
 
=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
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Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
 
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
 
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
 
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
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{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
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{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:1350px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:70%;height:900px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
  
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'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
 
 
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
 
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
<div class="lueckentext-quiz">
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{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
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{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 
<popup name="Tipp">
 
<popup name="Tipp">
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\end{array}
 
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</math>}}
 
</math>}}
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== Anwendungsaufgabe "Rakete" ==
 
== Anwendungsaufgabe "Rakete" ==
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<popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert <math>f(x)</math> annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup>
 
<popup name="Tipp 1"> Überlege dir, welchen Wert <math>f(x)</math> annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. </popup>
 
<popup name="Tipp 2"> Setze <math>f(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup>
 
<popup name="Tipp 2"> Setze <math>f(x)=0</math> und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. </popup>
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<popup name="Tipp 3"> '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung <math>0=x^2+px+q</math> liefert die p-q-Formel die Lösungen <math><br />
+
<popup name="Tipp 3"> '''Die p-q-Formel:'''Für eine Gleichung <math>0=x^2+px+q</math> liefert die p-q-Formel die Lösungen<br />
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+
<math>
 
x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}
 
x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}
−
  </math>. Denke daran, dass dabei vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.<br>
+
  </math>.<br> Denke daran, dass dabei vor dem <math>x^2</math> kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt.<br>
 
  </popup><br />
 
  </popup><br />
  
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d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
 
d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.
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<popup name="Tipp 1"> Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes <math> S(10I120)</math> und des Punktes <math>P(0I18)</math> auf.</popup>
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<popup name="Tipp 1"> Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes <math> S(10\mid120)</math> und des Punktes <math>P(0\mid18)</math> auf.</popup>
 
<popup name="Tipp 2"> Gehe wie in Aufgabe 4 vor. </popup><br />
 
<popup name="Tipp 2"> Gehe wie in Aufgabe 4 vor. </popup><br />
  
 
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
 
Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.
 
<popup name="Tipp"> Gesucht sind die x-Werte, für die <math>f(x)=30</math> ist. </popup>
 
<popup name="Tipp"> Gesucht sind die x-Werte, für die <math>f(x)=30</math> ist. </popup>
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<br />}}
+
 
−
<popup name="Lösung zu a)">
+
<popup name="Lösung">
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a)
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{{Lösung versteckt mit Rand|
 
<math>
 
<math>
 
\begin{array}{rll}
 
\begin{array}{rll}
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&=& 18
 
&=& 18
 
\end{array}  
 
\end{array}  
−
</math> <br> Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.
+
</math> <br> Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch. }}
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</popup>
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b)
−
 
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{{Lösung versteckt mit Rand|
−
<popup name="Lösung zu b)">
+
 
Nullstellenberechnung:<br />
 
Nullstellenberechnung:<br />
 
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br />
 
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden <math>x^2</math> den Vorfaktor eliminieren.<br />
 
<math>
 
<math>
 
\begin{array}{rlll}
 
\begin{array}{rlll}
−
f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\
+
0 & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\
 
  &=& x^2-40x-90   
 
  &=& x^2-40x-90   
 
\end{array}
 
\end{array}
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  &=& 20 \pm 22.14 \\
 
  &=& 20 \pm 22.14 \\
 
\end{array}
 
\end{array}
−
  </math><br>
+
  </math><br />
 
<math>
 
<math>
 
\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 </math> und <math>  x_2=-22.14+20=-2.14
 
\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14 </math> und <math>  x_2=-22.14+20=-2.14
 
</math><br />
 
</math><br />
−
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.
+
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.}}
−
 
+
c)
−
</popup>
+
{{Lösung versteckt mit Rand|
−
 
+
Umwandeln in die Scheitelpunktform: <br />
−
<popup name="Lösung zu c)">
+
<math>
−
Eine Möglichkeit wäre es, die Funktion in ihre Scheitelpunktform zu übersetzen und den Scheitelpunkt dann abzulesen. Der Scheitelpunkt beschreibt in diesem Fall den höchsten Punkt der Flugbahn.  
+
\begin{array}{rlll}
−
 
+
f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\
−
</popup>
+
&=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\
−
 
+
&=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\
−
<popup name="Lösung zu d)">
+
&=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\
−
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
+
&=& -0.2 (x-20)^2+98
 +
\end{array}
 +
</math><br />
 +
Der Scheitelpunkt liegt bei <math>S(20\mid 98)</math>, die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht. }}
 +
d)
 +
{{Lösung versteckt mit Rand|
 +
Scheitelpunkt einsetzen:<br />
 
<math>f(x)=a(x-10)^2+120</math>  <br>
 
<math>f(x)=a(x-10)^2+120</math>  <br>
−
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|18) einsetzen, nach a auflösen:<br>
+
Schnittpunkt mit der y-Achse <math>P(0\mid18)</math> einsetzen, nach a auflösen:<br>
−
<math>f(0)=18</math><br>
+
<math>
−
<math>\begin{array}{rlll}
+
\begin{array}{rlll}
−
\Leftrightarrow a(0-10)^2+120=18 \\
+
f(0)&=&18 \\
−
\Leftrightarrow 100a+120=18 &\mid -120 \\
+
a(0-10)^2+120&=&18 \\
−
\Leftrightarrow a=-1.02
+
100a+120&=&18 &\mid -120 \\
 +
a&=&-1.02
 
\end{array}
 
\end{array}
−
</math><br>
+
</math><br />
−
a einsetzen:<br>
+
a einsetzen:<br />
 
<math>\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120</math>
 
<math>\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120</math>
−
</popup>
+
}}
−
 
+
Zusatzaufgabe:
−
<popup name="Lösung zu Zusatzaufgabe*">
+
{{Lösung versteckt mit Rand|
−
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen f(x)=30 berechnen.<br />
+
Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen <math>f(x)=30</math> berechnen. <br>
 
<math>30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 </math> <br />  
 
<math>30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30 </math> <br />  
 
<math>\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 </math><br />
 
<math>\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12 </math><br />
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\end{array}
 
\end{array}
 
  </math><br>
 
  </math><br>
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<math>
 
<math>
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\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 </math> und <math> x_2=-18.44+20=1.56
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\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44 </math> und <math> x_2=-18.44+20=1.56</math><br />
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</math><br />
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Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
 
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.
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[[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]]

Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:04 Uhr

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Inhaltsverzeichnis

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

Stift.gif   Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden

Fülle den folgenden Lückentext aus.



Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Stift.gif   Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.



Stift.gif   Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft:

1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1
2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2



Funktionsgleichungen aufstellen

Stift.gif   Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.

b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.

Scheitelpunktform und Normalform

Stift.gif   Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.



Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Stift.gif   Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Nuvola apps kig.png   Merke

1. Binomische Formel: (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
2. Binomische Formel: (a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term x^2+6x+15.
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Stift.gif   Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x2 ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden.

Stift.gif   Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor

Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

3x^2-24x+60 | Faktor 3 ausklammern
3(x^2-8x+20) | Faktor 2 "herausziehen"
3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) | quadratische Ergänzung
3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) | 2. Binomische Formel
3((x-4)^2-4^2+20) | zusammenfassen
3((x-4)^2+4) | ausmultiplizieren
3(x-4)^2+12


Stift.gif   Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

Anwendungsaufgabe "Rakete"

Stift.gif   Aufgabe 10 Rakete

Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
f(x)=-0.2x^2+8x+18
aufgestellt. Dabei entspricht x der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und f(x) der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.

a) Berechne f(0) und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.


b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.


c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?


d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.


Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.

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