Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.
Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.
Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten
im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Graphisches Ableiten: Unterschied zwischen den Versionen
Aus Projektwiki - ein Wiki mit Schülern für Schüler.
| (46 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt) | |||
| Zeile 11: | Zeile 11: | ||
| + | __TOC__ | ||
| − | |||
| − | |||
| + | ==Förderaufgaben== | ||
| + | {{Aufgaben|1 Graphen zuordnen|Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu, indem du jeweils zwei Kästchen per Mausklick zusammenführst. Das erreichst du, indem du die linke Maustaste über einem Kästchen gedrückt hältst und das Kästchen anschließend bewegst. Klicke anschließend auf den blauen Punkt in der rechten unteren Ecke der Aufgabe, um deine Lösungen zu kontrollieren. | ||
| − | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height: | + | |
| + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
<popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup> | <popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x)? Wie sieht hier die Ableitung aus?</popup> | ||
| Zeile 24: | Zeile 26: | ||
| − | |||
| − | |||
| − | + | {{Aufgaben|2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus?|Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze. | |
| + | [[Datei:Aufgabe 3.png|f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)|800px|links|rahmenlos]]<br /> | ||
| Zeile 60: | Zeile 61: | ||
| − | + | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width:70%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width: | + | |
<popup name="Tipp 'Grad bestimmen'">Den Grad einer Funktion kann man am höchsten Exponenten ablesen. Er gibt die maximale Anzahl an Nullstellen an.</popup> }} | <popup name="Tipp 'Grad bestimmen'">Den Grad einer Funktion kann man am höchsten Exponenten ablesen. Er gibt die maximale Anzahl an Nullstellen an.</popup> }} | ||
| − | ==Teste dein Wissen! == | + | ==Bereit für die Forderaufgaben? Teste dein Wissen! == |
| − | {{Aufgaben|3 | + | {{Aufgaben|3 Wer wird Millionär?|Finde die richtige Antwort. Du kannst die App mit einem Klick auf das Zeichen oben rechts im Vollbildmodus anzeigen lassen. |
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:100%;height:600px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| Zeile 83: | Zeile 76: | ||
<popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle.</popup> }} | <popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle.</popup> }} | ||
| − | == | + | ==Forderaufgaben== |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | {{Aufgaben|4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?| | |
| + | '''a)''' Die Abbildung zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen. | ||
| + | [[Datei:Aufgabe 4n.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x|600px|links|rahmenlos]]<br /> | ||
| Zeile 122: | Zeile 115: | ||
| + | <popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup> | ||
| + | <popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative beziehungsweise positive Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion?</popup> | ||
| + | <popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Der rote Graph ist der Graph von f(x). Wenn f'(x) negativ ist, fällt f(x). Ist f'(x) positiv, so steigt f(x). An den Nullstellen von f'(x) sind die Extrema von f(x). | ||
| + | [[Datei:Lösung 4n.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5xF(x)=(3/4)x^(4)+(2/3)x^(3)-(5/2)x^(2)|600px|links|rahmenlos]]<br /> | ||
| + | </popup> | ||
| + | '''b)''' Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von F(x) und was passiert mit ihr, wenn man F(x) ableitet? | ||
| + | <popup name="Lösung"> | ||
| + | Im Bild siehst du den Graph der Ableitungsfunktion f' in grün. Die einfachst Möglichkeit einer Stammfunktion ist die Funktion f deren Graph hier in rot abgebildet ist. Die Funktion g erhält man durch das addieren der Konstante 3, der Graph ist hier in blau dargestellt. Bei der Funktion h wurde die Konstante 2 abgezogen, sie ist hier in lila dargestellt. | ||
| + | <math>f'(x)=3x^3+2x^2-5x</math> | ||
| + | <math>f(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2</math> | ||
| + | <math>g(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2+3</math> | ||
| + | <math>h(x)=(3/4)x^4+(2/3)x^3-(5/2)x^2-2</math> | ||
| − | <popup name="Tipp | + | |
| − | <popup name="Tipp | + | |
| − | <popup name="Tipp | + | |
| − | ''' | + | |
| − | = | + | [[Datei:Lösung 4b.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5xF(x)=(3/4)x^(4)+(2/3)x^(3)-(5/2)x^(2)|600px|links|rahmenlos]]<br /> |
| − | + | </popup>}} | |
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | {{Aufgaben|5 Zugfahrt|Auf der Fahrt zwischen Münster und Münster Hiltrup erreichen die Züge einmal die Geschwindigkeit von 120km/h. Die Funktion f(x) beschreibt die Geschwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke, dabei stehen die x-Werte für die gefahrene Zeit in Minuten und die Funktionswerte f(x) für die gefahrene Geschwindigkeit. Die Funktionswerte findest du in der Tabelle unten. | ||
| + | |||
| + | '''a)''' Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft. | ||
| + | <popup name="Tipp">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup> | ||
| + | |||
| + | '''b)''' Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben? | ||
| + | <popup name="Tipp">Wie viele Extrema gibt es?</popup> | ||
| + | |||
| + | '''c)''' Welchen Grad hat die Ableitung? | ||
| + | <popup name="Tipp">Wie hilft dir hier Aufgabenteil b?</popup> | ||
| + | |||
| + | '''d)''' Wann ändert sich die Geschwindigkeit am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung. | ||
| + | <popup name="Tipp">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 5)</popup> }} | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
| − | ! x !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 | + | ! x !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 !! 5 |
|- | |- | ||
| − | | f(x) || | + | | f(x) || 0 || 76,8 || 115,2 || 115,2 || 76,8 || 0 |
|- | |- | ||
|} | |} | ||
| − | + | <popup name="Lösung zu a)">Die Funktion kannst du anhand der Werte aus der Tabelle zeichnen. Die Ableitung ist hier in rot zu sehen. | |
| − | ' | + | [[Datei:Lösung 5n.png|f(x)=-19,2x^(2)+96xf'(x)=-38,4x+96|600px|links|rahmenlos]]</popup> |
| + | <popup name="Lösung zu b)">Die Funktion hat Grad 2, da sie ein Extremum besitzt.</popup> | ||
| − | + | <popup name="Lösung zu c)">Die Ableitung hat Grad 1.</popup> | |
| − | + | ||
| − | + | <popup name="Lösung zu d)">Die Geschwindigkeit ändert sich am stärksten in der ersten sowie der letzten Minute der Fahrt. In der ersten Minute beschleunigt der Zug am stärksten, in der letzten Minute bremst er am stärksten ab.</popup> | |
| − | + | [[Kategorie:Digitale Werkzeuge in der Schule|!]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
Aktuelle Version vom 28. Dezember 2018, 00:01 Uhr
|
In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Der Zusammenhang zwischen besonderen Punkten und Merkmalen einer Funktion und ihrer Ableitung stehen hier im Vordergrund. Im Folgenden findest du Aufgaben, um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch, um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst.
|
Inhaltsverzeichnis |
Förderaufgaben
 Aufgabe 1 Graphen zuordnen
Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu, indem du jeweils zwei Kästchen per Mausklick zusammenführst. Das erreichst du, indem du die linke Maustaste über einem Kästchen gedrückt hältst und das Kästchen anschließend bewegst. Klicke anschließend auf den blauen Punkt in der rechten unteren Ecke der Aufgabe, um deine Lösungen zu kontrollieren.
|
| Aufgabe 2 Wie sieht der Ableitungsgraph aus?
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze. 
|
Bereit für die Forderaufgaben? Teste dein Wissen!
| Aufgabe 3 Wer wird Millionär?
Finde die richtige Antwort. Du kannst die App mit einem Klick auf das Zeichen oben rechts im Vollbildmodus anzeigen lassen.
|
Forderaufgaben
| Aufgabe 4 Wie sieht der Graph von f(x) aus?
a) Die Abbildung zeigt den Graphen einer Ableitungsfunktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen. 
|
| Aufgabe 5 Zugfahrt
Auf der Fahrt zwischen Münster und Münster Hiltrup erreichen die Züge einmal die Geschwindigkeit von 120km/h. Die Funktion f(x) beschreibt die Geschwindigkeit des Zuges auf dieser Strecke, dabei stehen die x-Werte für die gefahrene Zeit in Minuten und die Funktionswerte f(x) für die gefahrene Geschwindigkeit. Die Funktionswerte findest du in der Tabelle unten. a) Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft. b) Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben? c) Welchen Grad hat die Ableitung? d) Wann ändert sich die Geschwindigkeit am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung. |
| x | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| f(x) | 0 | 76,8 | 115,2 | 115,2 | 76,8 | 0 |
