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Tipp verstecken
Gesucht ist die durchschnittliche Änderungsrate, wobei f(5) den Dieselpreis am 17.10.2018 angibt, d.h. da der 17.10.2018 der fünfte Tag ist, betrachten wir x=5.

Lösung verstecken
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Wie teuer war der Diesel am 14.10.2018, wenn man nur den Durchschnittswert betrachtet.

Lösung verstecken
Betrachtet man den durchschnittlichen Preisanstieg im Bereich vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018, so entsteht der Eindruck, dass sich der Dieselpreis in diesem kompletten Zeitraum nicht geändert hat. Es wäre somit egal gewesen, wann man in diesem Zeitraum tankt. Betrachtet man allerdings die Grafik, so wird deutlich, dass dies nicht der Fall ist.

Tipp 1 verstecken
Die Geschwindigkeit des Balls in einem Punkt s ist gerade die Steigung in diesem Punkt.

Tipp 2 verstecken
In welchem Zusammenhang stehen Höhe des Balls, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Bezug auf ihre Ableitung?

Tipp 3 verstecken
Wenn die Funktion an der Stelle s die stärkste Steigung hat, dann bedeutet dies für die 1. Ableitung, dass sie an der Stelle s einen Hochpunkt hat. Was bedeutet das für die 2.Ableitung ?

Tipp 4 verstecken
Was beschreibt die Funktion f(t)? Wie sieht der Graph ungefähr aus? Welche Steigung ist in diesem Punkt s vorzufinden? Was bedeutet dies für den Wert f'(s)?

Tipp 5 verstecken
Wie hoch ist der Ball, wenn er auf der Erdoberfläche auftrifft?

Tipp 6 verstecken
Zu welchem Zeitpunkt wurde der Ball abgworfen?

Tipp 7 verstecken
Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen, betrachte ich die Änderung der Höhe für den Anfangs- und Endwert des Bereiches.

Lösung verstecken
Wenn die Geschwindigkeit des Balls zu einem Zeitpunkt s gesucht ist, bedeutet dies, dass ich die momentane Änderungsrate der Funktion f(t) an der Stelle s bestimmen muss. Dazu berechne ich f '(s).

Möchte ich allerdings die Beschleunigung des Balls zu einem Zeitpunkt s betrachten, so suche ich die momentane Änderungsrate der Ableitung der Funktion f(t) an der Stelle s. Dazu berechne ich f (s).

Wird nach der stärksten Steigung der Funktion f(t) gefragt, so muss ich die Wendestelle bestimmen. Dafür muss f (s)=0 und f '(s) ≠ 0 gelten.

Soll ich die maximale Höhe des Balls angeben, so muss ich den Hochpunkt bestimmen. Dafür muss f '(s)=0 und f (s) < 0 gelten.

Wann der Ball wieder auf der Erdoberfläche aufkommt, gibt die Nullstelle an. Dazu berechne ich f(s)=0.

Außerdem gibt der y-Achsenabschnitt an, aus welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde. Hierzu berechne ich f(0).

Suche ich die durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Bereich m bis n, so suche ich für diesen Bereich die durchschnittliche Änderungsrate, dies ist gerade der Wert des Differentenquotienten.

Tipp verstecken

Setze die entsprechenden Werte für t in die entsprechende Funktion ein. Die Ableitung der Funktion ist h'(t)=14t. Für 5. überlege, was dieser Ausdruck ist und ob du diesen anders schreiben kannst.

Lösung verstecken

1. Die Rakete hat nach zwei Sekunden eine Höhe von 28 Metern.
2. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde überwindet die Rakete eine Höhe von 105 Metern.
3. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete 35 m/s.
4. Drei Sekunden nach dem Start ist die momentane Geschwindigkeit der Rakete 42 m/s.
5. 4,5 Sekunden nach dem Start der Rakete beträgt die Geschwindigkeit der Rakete 63 m/s.
6. siehe 5.

Tipp verstecken

Überlege, wie der Graph der Funktion für Werte von t>5 verläuft.

Lösung verstecken

Die Rakete kann nicht unendlich hoch fliegen und bereits nach 5 Sekunden ist eine Höhe von 175 Metern erreicht. Nach der Explosion des Feuerwerkskörpers fällt er wieder runter und verliert somit an Höhe, die Steigung der Funktion müsste demnach irgendwann wieder negativ werden, was nach der obigen Modellierung für keine positiven Werte von t eintrifft.

Tipp zu a) und b) verstecken

Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte! Man dividiert die Einheit der y-Achse durch die Einheit der x-Achse. Bei a) erhält man für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion also die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit. Gehe in anderen Beispielen genauso vor.

Tipp zu c) verstecken

Versuche hier andersherum zu denken und überlege, wie du die Einheit und somit den Sachverhalt der ursprünglichen Funktionswerte ermitteln kannst, wenn du diese Informationen zu der Ableitungsfunktion gegeben hast.