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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen
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<iframe scrolling="no" title="Bild2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ue7m4k7c/width/1536/height/689/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="850px" height="590px" style="border:0px;"> </iframe> | <iframe scrolling="no" title="Bild2" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/ue7m4k7c/width/1536/height/689/border/888888/sfsb/true/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/false/rc/false/ld/false/sdz/false/ctl/false" width="850px" height="590px" style="border:0px;"> </iframe> | ||
| − | <popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup> | + | <popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup> |
| − | <popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 | + | <popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 * m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup> |
| − | <popup name="Lösung"> | + | <popup name="Lösung"> |
| + | 1. Schritt: <math>f(x)</math> ableiten -> <math>f'(x)= 2*(x-1)</math> | ||
| + | 2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: <math> f'(1,25)= 2*(1,25-1)=0,5=m_1 </math> | ||
| + | 3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> <math> 0,5 * m_2 = -1 <=> m_2=-2 </math> | ||
| + | 4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: <math>f'(x)=-2=2*(x-1)=2x-2 <=> x=0 </math> | ||
| + | 5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: <math> f(0)=(0-1)^2+1=2 </math> Also <math>(0/2)</math> | ||
| + | 6. Schritt: Tangentengleichung für g aufstellen: <math>g(x)=-2x+2</math>. | ||
| + | (y-Achsenabschnitt muss hier nicht extra bestimmt werden, da dies der Schnittpunkt mit dem Graphen ist.)</popup> | ||
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Version vom 14. November 2018, 09:40 Uhr
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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt. In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt. In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen. Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt. Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben im Bereich lokale Linearität und Ableitung in besonderen Punkten. |
Inhaltsverzeichnis |
Unterscheidung Tangente und Sekante
 Aufgabe 1: Lückentext zur Begriffsklärung
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| Aufgabe 2: Weiterführender Lückentext
In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x0 und h einstellen kannst. Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma getrennt werden. Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.
Benötigst du einen Tipp? Dann klicke auf die Glühbirne in der oberen linken Ecke des Lückentextes. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".
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Tangentengleichungen aufstellen
| Aufgabe 3: Arbeitsschritte zurodnen
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| Aufgabe 4: Tangentengleichung aufstellen
a)
Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion b)
In welchem Punkt berührt die Tangente |
im Punkt 
.
.
den Graphen 
?
| Aufgabe 5: Tangente durch Normale
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so, dass die Tangente g senkrecht zur Tangente a an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist.
gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit 
sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)
ableiten -> 
2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: 
3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> 
4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: 
5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: 
Also 
6. Schritt: Tangentengleichung für g aufstellen: 
.
| Aufgabe 6: Richtig oder Falsch?
Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind. Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t mit deiner Maus bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen.
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Forderaufgaben
| Aufgabe 7: Lokale Linearität
In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt. Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum? Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung. |
| Aufgabe 8: Notwendige Bedingung
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen. a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P.
Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie den Punkt P verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten?
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