Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen

  Aufgabe 2: Weiterführender Lückentext

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in diesem zwei Regler, an denen du x₀ und h einstellen kannst.

Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.

Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma geschrieben werden. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".

  Aufgabe 3:Arbeitsschritte zuordnen

Die Tangente an die Funktion im Punkt soll berechnet werden. Im folgenden Applet siehst du die dazu vorgenommenen Rechenschritte und Anweisungen.

  Aufgabe 4:Tangentengleichung aufstellen

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt .

Lösung 1: Ableitung von f(x) anzeigen

Lösung 1: Ableitung von f(x) verstecken
Die Ableitung von ist .

Lösung 2: Steigung im Punkt x=-3 anzeigen

Lösung 2: Steigung im Punkt x=-3 verstecken
Die Steigung im Punkt ist .

Lösung 3: y-Achsenabschnitt anzeigen

Lösung 3: y-Achsenabschnitt verstecken
Der y-Achsenabschnitt ist , also .

Lösung 4: Tangentengleichung anzeigen

Lösung 4: Tangentengleichung verstecken
Die Gleichung der Tangente lautet .

  Aufgabe 5: Tangente durch Normale

Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion so, dass die Tangente g senkrecht zur Tangente a an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist. Notiere deine einzelnen Rechenschritte in deinem Heft.

Tipp 2 anzeigen

Tipp 2 verstecken
Falls gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)

  Aufgabe 6: Richtig oder Falsch?

Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t selbst bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen. Oder du nutzt alternativ den eingebauten Regler.

  Aufgabe 7: Lokale Linearität

In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt.

Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst.

Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum?

Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung.

  Aufgabe 8: Notwendige Bedingung

In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.

a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P.

b) Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also den Punkt in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt ist das schwierig. So genau kann ich da gar keine Tangente einzeichnen! Ich würde sagen, es gibt zwei verschiedene Tangenten in dem Punkt. Was bedeutet das denn für die Ableitung?"

Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie den Punkt P verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten?