Achtung:

Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.

Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.

Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten

im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).

Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Projektwiki - ein Wiki mit Schülern für Schüler.
Wechseln zu: Navigation, Suche
Zeile 77: Zeile 77:
  
 
<popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup>
 
<popup name="Tipp 1">Berechne zunächst die Steigung der Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 * m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup>
+
<popup name="Tipp 2">Falls <math>m_1 \cdot m_2 = -1</math> gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit <math>m_1, m_2</math> sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)</popup>
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
−
1. Schritt: <math>f(x)</math> ableiten -> <math>f'(x)= 2*(x-1)</math><br />
+
1. Schritt: <math>f(x)</math> ableiten -> <math>f'(x)= 2\cdot(x-1)</math><br />
  
−
2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: <math> f'(1,25)= 2*(1,25-1)=0,5=m_1 </math><br />
+
2. Schritt: Steigung der Tangenten in Punkt A: <math> f'(1,25)= 2\cdot(1,25-1)=0,5=m_1 </math><br />
  
−
3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> <math> 0,5 * m_2 = -1 <=> m_2=-2 </math><br />
+
3. Schritt: Steigung der Tangente g bestimmen -> <math> 0,5 \cdot m_2 = -1 <=> m_2=-2 </math><br />
  
−
4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: <math>f'(x)=-2=2*(x-1)=2x-2 <=> x=0 </math><br />
+
4. Schritt: Schnittstelle der Tangente g mit Graphen bestimmen: <math>f'(x)=-2=2\cdot(x-1)=2x-2 <=> x=0 </math><br />
  
 
5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: <math> f(0)=(0-1)^2+1=2 </math> Also <math>(0|2)</math><br />
 
5. Schritt: Schnittpunkt bestimmen: <math> f(0)=(0-1)^2+1=2 </math> Also <math>(0|2)</math><br />
Zeile 117: Zeile 117:
 
<popup name="Lösung"> Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden. </popup>
 
<popup name="Lösung"> Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden. </popup>
 
}}
 
}}
−
{{Aufgaben|8: Notwendige Bedingung|
+
{{Aufgaben|8: Besondere Punkte|
−
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.
+
In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.
  
 
'''a)'''
 
'''a)'''

Version vom 14. November 2018, 11:25 Uhr


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt.

In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt.

In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen.

Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt.

Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben im Bereich lokale Linearität und Ableitung in besonderen Punkten.



Inhaltsverzeichnis


Unterscheidung Tangente und Sekante

Stift.gif   Aufgabe 1: Lückentext zur Begriffsklärung



Stift.gif   Aufgabe 2: Weiterführender Lückentext

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in diesem zwei Regler, an denen du x0 und h einstellen kannst.


Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.

Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma geschrieben werden. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".


Tangentengleichungen aufstellen

Stift.gif   Aufgabe 3:Arbeitsschritte zuordnen

Die Tangente an die Funktion f(x)=x^3+2x^2+5x-4 im Punkt x=5 soll berechnet werden. Im folgenden Applet siehst du die dazu vorgenommenen Rechenschritte und Anweisungen.

Stift.gif   Aufgabe 4:Tangentengleichung aufstellen

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x)=-\frac{1}{3}x^2+3 im Punkt x=-3.



Stift.gif   Aufgabe 5: Tangente durch Normale


Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion f(x)=(x-1)^2+1 so, dass die Tangente g senkrecht zur Tangente a an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist. Notiere deine einzelnen Rechenschritte in deinem Heft.


Stift.gif   Aufgabe 6: Richtig oder Falsch?

Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t selbst bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen. Oder du nutzt alternativ den eingebauten Regler.

Forderaufgaben

Stift.gif   Aufgabe 7: Lokale Linearität

In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt.

Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst.

Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum?

Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung.

Stift.gif   Aufgabe 8: Besondere Punkte

In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen.

a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P.


b) Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also den Punkt in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt ist das schwierig. So genau kann ich da gar keine Tangente einzeichnen! Ich würde sagen, es gibt zwei verschiedene Tangenten in dem Punkt. Was bedeutet das denn für die Ableitung?"

Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie den Punkt P verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten?


Von „https://projektwiki.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Trainingsfeld_Ableitungen/Die_Steigung_eines_Funktionsgraphen_in_einem_Punkt&oldid=57016“