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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte! | Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte! | ||
− | Dies kann man sich anhand des Differentialquotienten <math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> für | + | Dies kann man sich anhand des Differentialquotienten <math>\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}</math> für h → 0 klar machen, der schließlich der Ableitung an der Stelle <math>x_o</math>, also <math>f'(x_0)</math> entspricht. Aus dem Differentialquotienten kann man die Einheit herleiten: Im Zähler stehen Werte der Ausgangsfunktion f und im Nenner steht h, also ein Wert der x-Achse. Man dividiert also die Einheit der Funktionswerte durch die Einheit der x-Achse.<br /> |
Bei a) erhält man für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion also die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit. Gehe in anderen Beispielen genauso vor. | Bei a) erhält man für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion also die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit. Gehe in anderen Beispielen genauso vor. | ||
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Version vom 17. November 2018, 12:13 Uhr
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 1: Dieselpreise
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6). a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
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Aufgabe 2: Zuordnen
Der Graph der Funktion beschreibt die Flugbahn eines Balls. gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden an. |
Aufgabe 3: Silvesterkracher
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte. 1.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe in dein Heft. |
Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen. c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f(x) ist die Ableitungsfunktion von g(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.
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Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo
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b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?
c) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
Aufgabe 6: Die Autofahrt
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1. a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten.
b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind? c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren? Schreibe die Lösung in dein Heft. d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? "Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
Schreibe die Lösung in dein Heft. f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist. |