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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
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<popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math>b ' (t) = - 0,3</math> ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup> | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math>b ' (t) = - 0,3</math> ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup> | ||
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'''e)''' Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625</math> beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet: | '''e)''' Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625</math> beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet: | ||
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'''b)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br /> | '''b)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br /> | ||
− | <popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil ''' | + | <popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil '''a)''' kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise: |
− | <br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h' | + | <br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h'''</popup> |
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'''d)''' Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft. | '''d)''' Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft. | ||
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<popup name="Tipp"> Wir wissen aus Aufgabenteil '''a)''', dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist. </popup> | <popup name="Tipp"> Wir wissen aus Aufgabenteil '''a)''', dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist. </popup> | ||
− | <popup name="Lösung">[[Datei:Autofahrt(Strecke).png|800px|zentriert|thumb|Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.]]</popup> | + | <popup name="Lösung">Eine Skizze hat über das Streckenprofil der Autofahr hat diesen Verlauf in den ersten zwei Stunden: <br/>[[Datei:Autofahrt(Strecke).png|800px|zentriert|thumb|Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.]]</popup> |
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Version vom 18. November 2018, 18:29 Uhr
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Inhaltsverzeichnis |
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6). a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
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Wiederholung wichtiger Signalwörter
Der Graph der Funktion beschreibt die Flugbahn eines Balls. gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden an. |
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein. 1.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft. |
Einheiten der Ableitungsfunktion
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.
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Funktionsuntersuchung
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet: Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung. |
Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit stellt Peter vereinfacht mit einem Graphen, wie in Abbildung 6.1, dar.
"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.
c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig? Schreibe die Lösung in dein Heft.
d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft. |