Quadratische Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen

Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.

Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform

Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:

$1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1$
$2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2$

Lösungen zu den Graphen anzeigen

Funktionsgleichungen aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen

Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:

Wanted: Parabel

a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft.

b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.

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Scheitelpunktform und Normalform

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform

Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform

Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Merke

1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term $x^2+6x+15$ .
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x² ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:

Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor

Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

$3x^2-24x+60$ | Faktor 3 ausklammern
$3(x^2-8x+20)$ | Faktor 2 "herausziehen"
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20)$ | quadratische Ergänzung
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20)$ | 2. Binomische Formel
$3((x-4)^2-4^2+20)$ | zusammenfassen
$3((x-4)^2+4)$ | ausmultiplizieren
$3(x-4)^2+12$

Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

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Anwendungsaufgabe "Rakete"

Aufgabe 10 Rakete

Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion
$f(x)=-0.2x^2+8x+18$
aufgestellt. Dabei entspricht $x$ der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und $f(x)$ der Höhe der Rakete; jeweils in Meter.

a) Berechne $f(0)$ und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet.

b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft.

Tipp 3 anzeigen

c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie?

d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn.

Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat.