Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 13. Oktober 2018, 12:12 Uhr

Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Aufgabe 1 Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

1a Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

im Intervall

im Intervall

im Intervall

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Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so:

.

1b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

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Die Formel stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [;] an.

Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte.

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Die Formel heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt auf den Punkt P zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in .

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

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mittlere Änderungsrate	momentane Änderungsrate
Sekante	Tangente
die Steigung zwischen zwei Punkten	die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung	die Ableitung an der Stelle x0
die Durchschnittsgeschwindigkeit	die Momentangeschwindigkeit

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: für (i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. (ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. (iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für keinen Sinn?

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate a) b)Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. Fülle dann den folgenden Lückentext aus.