Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt: Unterschied zwischen den Versionen

  Aufgabe 2: Lückentext

In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x₀ und h einstellen kannst. Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma getrennt werden.

Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus.

Benötigst du einen Tipp? Dann klicke auf die Glühbirne in der oberen linken Ecke des Lückentextes.

Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".

  Aufgabe 4

a) Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt .

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Die Gleichung der Tangente lautet .

b) In welchem Punkt berührt die Tangente den Graphen ?

  Aufgabe 5

Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion so, dass die Tangente (g) senkrecht zur Tangente (a) an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist.

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Falls m₁ * gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.)

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Die Gleichung der Tangente lautet .

  Aufgabe 6

Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind.

Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t mit deiner Maus bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen.

  Aufgabe 7

In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Auf der rechten Seite der Abbildung siehst du alles vergrößert.

Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst.

Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum?

Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung.

  Aufgabe 8

In der untenstehenden Grafik siehst du eine Funktion, sowie deren Punkte P und Q. Bei P und Q ist jeweils eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien.Die beiden Punkte lassen sich verschieben.

a) Bestimme mithilfe der Abbildung die Ableitung der Funktion im Punkt P.

b) Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also die Punkte in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt könnte ich zwei Tangenten einzeichnen! Was bedeutet das denn für die Ableitung?"

Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie die Punkte verschiebst. Findest du auch zwei Tangenten? Kann es überhaupt zwei Tangenten in einem Punkt geben? Wie würdest du Lisas Frage beantworten: Was bedeutet das für die Ableitung in diesem Punkt? und für die Ableitung der Funktion?