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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen
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Bei g(x) und f(x) kannst du bei der Berechnung der mittleren Änderungsrate nach demselben Prinzip vorgehen. | Bei g(x) und f(x) kannst du bei der Berechnung der mittleren Änderungsrate nach demselben Prinzip vorgehen. | ||
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2. <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math> | 2. <math>g(2)=2^2=4 </math> und <math> g(7)=7^2=49 </math> | ||
| − | Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math> | + | Berechnung der mittleren Änderungsrate: <math>\frac{g(7)-g(2)} {7-2}=\frac{49-4} {7-2}= \frac{45} {5}= 9</math> |
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3. <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math> | 3. <math>h(-2)=(-2)^3-2=(-10) </math> und <math> h(1)=1^3-2=(-1) </math> | ||
| − | Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)} \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup> | + | Berechnung der mittleren Änderungsrate:<math> \frac{h(1)- h(-2)} {1-(-2)}= \frac{(-1)-(-10)} {1-(-2)}= \frac{9} {3}= 3</math> </popup> |
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Version vom 14. November 2018, 13:14 Uhr
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Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate. In Aufgabe 1 geht es darum, die mittlere Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen, in b) hingegen übst du mittlere Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bist im Umgang mit mittleren Änderungsraten, kannst du diese Aufgabe auch überspringen. Bei Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und lokale Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe. Den Zusammenhang von mittlerer und lokaler Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe. |
Inhaltsverzeichnis[Verbergen] |
Bestimmung von mittleren Änderungsraten
 Aufgabe 1: Berechnung der mittleren Änderungsrate
a) Berechne die mittlere Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.
Leider ist der Vorstand wegen der Vorbereitung der Jubiläumsfeier sehr beschäftigt und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen. 1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen? |
im Intervall ![[2,5]](/images/math/d/b/5/db5dc72ec1da78e609bf9f0ae1447688.png)
im Intervall ![[2,7]](/images/math/1/1/f/11fa16d050ab48b2dd318ff5b5817119.png)
im Intervall ![[-2,1]](/images/math/7/0/1/7019f6fe0e7078b019e0586e7cbc564a.png)
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und 
und 
und 
2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?
Unterscheidung der Änderungsraten
| Aufgabe 2:
a) Unterscheidung der mittleren und lokalen Änderungsrate Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.
Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.
Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt:
(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. (ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat. (iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für
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stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [
;
] an.
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) und Q(
).
heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist der Grenzwert des Differenzenquotienten. Er gibt die Steigung der Tangente an der Stelle x an und entspricht der Ableitung an dieser Stelle.
für ![t\in [0;5]](/images/math/d/1/7/d17e4f93b0be76b84d0dd79694840cff.png)
keinen Sinn?
Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate
| Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate
a) Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:
In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt (2 ; 2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet. 
1) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern. 2) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist. 3) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext.
b) (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.
1) Was gibt die Variable ks an? 2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.
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