Symmetrie von ganzrationalen Funktionen

Aufgabe 1 Wahr oder falsch? Lösung anzeigen Lösung verstecken Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=f(x)$ gilt. Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=-f(x)$ gilt. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm nur gerade Exponenten enthält. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält. Man bezeichnet eine Funktion als gerade Funktion, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Aufgabe 2 a) Tipp anzeigen Tipp verstecken Multipliziert die Gleichungen erst aus, bevor ihr entscheidet. Tipp anzeigen Tipp verstecken Eine Funktion ist achsensymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur gerade Exponenten und das absolute Glied ($a\cdot x^0$) enthält. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur ungerade Exponenten enthält. Lösung anzeigen Lösung verstecken Punktsymmetrie: $f(x)=x^3$,$f(x)=-x^3$,$f(x)=x^5$,$f(x)=x^5+x^3+x$,$f(x)=(x-3)*x*(x+3)$,$f(x)=(x^2-9)*x$ Achsensymmetrie: $f(x)=x^2$,$f(x)=-x^2$,$f(x)=x^4$,$f(x)=x^4-x^2$,$f(x)=(x^2-9)*(x^2-16)$ Keine Symmetrie: $f(x)=x^2+x$,$f(x)=2x-3$,$f(x)=x^2+x+2$,$f(x)=x^4-3x^3+x$,$f(x)=(x-1)*x*(x^2-4)$,$f(x)=-x^5-2x^3+x+2$ b) Greift euch drei Beispiele heraus und schreibt eine ausführliche Begründung für eure Einordnung. Lösung anzeigen Lösung verstecken Bsp.: $f(x)=x^5+x^3+x$, die Gleichung hat die Exponenten 5,3,1. Diese sind allesamt ungerade, also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 3 Für welche t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse? a)$f(x)=x^t+x^2$ b)$f(x)=x^3-x+t$ c)$f(x)=(x+t)^2-4x$ d)$f(x)=(x-t)(x+3)$ e)$f(x)=tx^4+x^3-4x$ f)$f(x)=x^3+2x^t$ Tipp anzeigen Tipp verstecken a),f)Es gibt mehr als eine Lösung. c)Klammer ausmultiplizieren. d)Beachte die dritte binomische Formel. Lösung anzeigen Lösung verstecken a)Für alle geraden t, also …-4,-2,0,2,4,6,... --> Achsensymmetrie b)Für t=0 --> Punktsymmetrie c)Für t=2 --> Achsensymmetrie d)Für t=3 --> Achsensymmetrie e)Für kein t --> keine Symmetrie f)Für alle ungeraden t, also …-3,-1,1,3,5,... --> Punktsymmetrie