Grenzwerte im Unendlichen

Will man anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf des Graphens machen, muss man auch wissen, wie sich die Funktion für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte verhält.
Anschaulich gesprochen: Man betrachtet den Funktionsgraphen am rechen und linken Bildrand.

Bei ganzrationalen Funktionen hast du bereits vier Fälle über den charakteristischen Verlauf einer Funktion kennen gelernt.

Auch mit dem Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen für immer größer werdende x- Werte hast du dich schon auseinandergesetzt.

Hierfür ein Beispiel:

$f(x)=\frac{4x-3}{x}$ Fülle die Wertetabelle vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst und "Enter" drückst. Wenn sich das Feld grün färbt, war deine Eingabe richtig. Übertrage die berechneten Punkte in das GeoGebra-Applet und skizziere den Verlauf des Funktionsgraphen von f über den Button "Freihandskizze erkennen. Wie verhält sich die Funktion f für immer größer, bzw. immer kleiner werdende x- Werte? Über die beiden Kontrollkästchen lassen sich die Funktion und die Gerade, an die sich f annähert, anzeigen.

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Der Graph der Funktion f: x -> $\frac{4x-3}{x}$ scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade y = 4 anzunähern.
Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert 4 an.

Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:

f (x) = $\frac{4x-3}{x}$ = $\frac{4x}{x}$ - $\frac{3}{x}$ = 4 - $\frac{3}{x}$
Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch $\frac{3}{x}$ immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.
Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an.

Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten wird mathematisch durch den Limes von f (x) für x gegen + $\infty$ dargestellt:
$\lim_{x \to \infty}f (x)$

Durch den Limes von f für x gegen - $\infty$ wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.

In unserem Beispiel können wir schreiben:
$\lim_{x \to \infty}f (x)$ = $\lim_{x \to \infty}\frac{4x-3}{x}$ = $\lim_{x \to \infty}4 - \lim_{x \to \infty}\frac{3}{x}$ = 4 - 0 = 4

Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - $\infty$ untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.
Damit heißt 4 der Grenzwert der Funktion f für x gegen + $\infty$ und gegen - $\infty$.

Allgemein gilt:
Nähert sich der Graph einer Funktion für immer größer werdende x-Werte einer Zahl a immer weiter an, so nennt man a den Grenzwert von f für x gegen + $\infty$:
In mathematischer Schreibweise: $\lim_{x \to \infty}f (x)$ = a

Die Gerade y = a ist dann eine waagrechte Asymptote für den Graphen von f.

Äquivalent dazu definiert man den Grenzwert einer Funktion für immer kleiner werdende x- Werte, also für x gegen - $\infty$.

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Manipulationen an Funktionen