Quadratische Funktionen

In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.

Die Scheitelpunktform

Die Parameter der Scheitelpunktform

Aufgabe 1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden Fülle den folgenden Lückentext aus. Tipp anzeigen Tipp verstecken Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.

Scheitelpunktformen und ihre Graphen

Aufgabe 2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst. Tipp anzeigen Tipp verstecken Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.

Aufgabe 3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen in dein Heft: $1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1$ $2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. Lösungen zu den Graphen anzeigen Lösungen zu den Graphen verstecken Lösungen zu den Skizzen

Funktionsgleichungen aufstellen

Aufgabe 4 Funktionsgleichungen aufstellen Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf: Wanted: Parabel a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. Lösung anzeigen Lösung verstecken Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen: $f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1$ P einsetzen und nach a auflösen: $f(2)=6$ $\Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6$ $\Leftrightarrow 25a+1=6 \mid -1$ $\Leftrightarrow 25a=5 \mid :25$ $\Leftrightarrow a=\frac{1}{5}$ a einsetzen: $\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1$ b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat. Tipp anzeigen Tipp verstecken Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor. Lösung anzeigen Lösung verstecken Scheitelpunkt einsetzen: $g(x)=a(x-1)^2-1$ Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen: $g(0)=-4$ $a(0-1)^2-1=-4$ $1a-1=-4 \mid +1$ $a=-3$ a einsetzen: $\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1$

Scheitelpunktform und Normalform

Aufgabe 5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform Fülle den Lückentext aus, indem du in die Lücken klickst und die richtige Antwort auswählst.

Von der Scheitelpunktform zur Normalform

Aufgabe 6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.

Tipp 1 anzeigen

Tipp 1 verstecken

Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!

Tipp 2 anzeigen

Tipp 2 verstecken

Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".

Tipp 3 anzeigen

Tipp 3 verstecken

1. Binomische Formel: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$

2. Binomische Formel: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$

Lösung anzeigen

Lösung verstecken

$\begin{array}{rlll} f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&x^2+6x+9 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&2x^2-12x+18 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen \\&=&4x^2+8x-2 \\ \end{array}$

$\begin{array}{rlll} i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden \\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren \\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen \\&=&-0,5x^2+2x+4 \\ \end{array}$

Von der Normalform zur Scheitelpunktform

In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.

Die quadratische Ergänzung ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte.
Zur Erinnerung:

Merke 1. Binomische Formel: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 2. Binomische Formel: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term $x^2+6x+15$.
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:

Aufgabe 7 Die quadratische Ergänzung wiederholen

Wichtig: Wenn for dem x² ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:

Aufgabe 8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.

$3x^2-24x+60$ | Faktor 3 ausklammern
$3(x^2-8x+20)$ | Faktor 2 "herausziehen"
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20)$ | quadratische Ergänzung
$3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20)$ | 2. Binomische Formel
$3((x-4)^2-4^2+20)$ | zusammenfassen
$3((x-4)^2+4)$ | ausmultiplizieren
$3(x-4)^2+12$

Aufgabe 9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform

Tipp anzeigen

Tipp verstecken

Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem $x^2$ zunächst auszuklammern!

Lösung anzeigen

Lösung verstecken

$f(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} f(x)&=&x^2-8x+18 \\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18 \\ &=&(x-4)^2-16+18 \\ &=&(x-4)^2+2 \\ \end{array}$

$g(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6] \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2 \end{array}$

$h(x):$ [Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

$\begin{array}{rll} h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45 \\ &=&0.2(x^2-3x+2.25) \\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25) \\ &=&0.2(x-1.5)^2 \end{array}$

Anwendungsaufgabe "Rakete"

Aufgabe 10 Rakete Zum Abschluss eines Volksfestes wird ein Feuerwerk vom Dach eines Parkhauses abgeschossen. Der Pyrotechniker hat für die Beschreibung der Flugbahn einer Rakete die Funktion $f(x)=-0.2x^2+8x+18$ aufgestellt. Dabei entspricht $x$ der horizontalen Entfernung von der Abschussstelle und $f(x)$ der Höhe der Rakete; jeweils in Meter. a) Berechne $f(0)$ und beschreibe, was dieser Wert im Anwendungskontext bedeutet. Tipp anzeigen Tipp verstecken Lies noch einmal nach, was $x$ und $f(x)$ angeben. Was bedeutet es, wenn $x=0$ ist? b) Berechne, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf den Boden auftrifft. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Überlege dir, welchen Wert $f(x)$ annehmen muss, wenn die Rakete auf den Boden auftritt. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Setze $f(x)=0$ und berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Die p-q-Formel:Für eine Gleichung $0=x^2+px+q$ liefert die p-q-Formel die Lösungen $x_{1/2}= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{p}{2} \right )}^2 -q}$. Denke daran, dass dabei vor dem $x^2$ kein Vorfaktor stehten darf. Diesen kann man eliminieren, indem man auf beiden Seiten der Gleichung durch den Vorfaktor teilt. c) Nach wieviel Metern erreicht die Rakete ihre maximale Höhe? Welche Höhe erreicht sie? Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Gesucht ist der Scheitelpunkt der Funktion. Erinnere dich daran, wo man den Scheitelpunkt ablesen kann. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Wenn du nicht weiterweißt, schaue in den Aufgaben 7, 8 und 9 noch einmal nach. d) Bei gleichbleibendem Startpunkt soll die Flugbahn so verändert werden, dass nach 10 m Entfernung vom Startpunkt die maximale Höhe von 120 m erreicht wird. Bestimme eine Funktionsgleichung für diese neue Flugbahn. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Stelle die Gleichung mit Hilfe des Scheitelpunktes $S(10I120)$ und des Punktes $P(0I18)$ auf. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Gehe wie in Aufgabe 4 vor. Zusatzaufgabe* Berechne die horizontale Entfernung vom Startpunkt, in der die Rakete theoretisch eine Flughöhe von 30 m hat. Tipp anzeigen Tipp verstecken Gesucht sind die x-Werte, für die $f(x)=30$ ist.

Lösung zu a) anzeigen

Lösung zu a) verstecken

$\begin{array}{rll} f(0)&=&-0.2 \cdot 0^2+8 \cdot 0+18 \\ &=& 18 \end{array}$
Das Dach, von dem die Rakete abgeschossen wird, ist 18 Meter hoch.

Lösung zu b) anzeigen

Lösung zu b) verstecken

Nullstellenberechnung:
Dafür müssen wir im ersten Schritt beim Summanden $x^2$ den Vorfaktor eliminieren.
$\begin{array}{rlll} f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 & \mid :-0.2 \\ &=& x^2-40x-90 \end{array}$
Im zweiten Schritt benutzen wir die p-q-Formel, um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen.
$\Rightarrow p=-40, q=-90$

$\begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -(-90)} \\ &=& 20 \pm 22.14 \\ \end{array}$
$\Rightarrow x_1=22.14+20=42.14$ und $x_2=-22.14+20=-2.14$
Da wir wissen wollen, wie weit die Rakete fliegen würde, bis sie auf dem Boden aufkommt, müssen wir nur den größeren x-Wert betrachten. Also kommt die Rakete nach ca. 42.14 Metern auf dem Boden auf.

Lösung zu c) anzeigen

Lösung zu c) verstecken
Umwandeln in die Scheitelpunktform:

$\begin{array}{rlll} f(x) & = & -0.2x^2+8x+18 &\mid -0.2 \, vorklammern \\ &=& -0.2(x^2-40x-90) &\mid quadratische \, Erg\ddot{a} nzung +20^2-20^2 \\ &=& -0.2(x^2-2 \cdot 20x+20^2-20^2-90) & \mid 2. Binomische \, Formel \\ &=& -0.2[(x-20)^2-490] & \mid ausmultiplizieren \\ &=& -0.2 (x-20)^2+98 \end{array}$
Der Scheitelpunkt liegt bei S(20|98), die maximale Höhe von 98 Metern wird also bei einer horizontalen Entfernung von 20 Metern erreicht.

Lösung zu d) anzeigen

Lösung zu d) verstecken

Scheitelpunkt einsetzen:
$f(x)=a(x-10)^2+120$
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|18) einsetzen, nach a auflösen:
$\begin{array}{rlll} f(0)&=&18 \\ a(0-10)^2+120&=&18 \\ 100a+120&=&18 &\mid -120 \\ a&=&-1.02 \end{array}$
a einsetzen:
$\Rightarrow f(x)=-1.02(x-10)^2+120$

Lösung zu Zusatzaufgabe* anzeigen

Lösung zu Zusatzaufgabe* verstecken

Wir müssen also den x-Wert zum zugehörigen f(x)=30 berechnen.
$30=-0.2x^2+8x+18 \mid -30$
$\Leftrightarrow 0=-0.2x^2+8x-12$

$\begin{array}{rlll} 0 & = & -0.2x^2+8x-12 & \mid :(-0.2) \\ &=& x^2-40x+60 \end{array}$
$\Rightarrow p=-40, q=60$

$\begin{array}{rll} x_{1/2} &=& -\frac{-40}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-40}{2} \right )}^2 -60} \\ &=& 20 \pm 18.44 \\ \end{array}$
$\Rightarrow x_1=18.44+20=38.44$ und $x_2=-18.44+20=1.56$
Die Rakete hat also theoretisch nach ca. 1.56 Metern und nach ca. 38.44 Metern eine Flughöhe von 30 Metern.