Testseite

„Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen. Du wiederholst, in welchen Sachsituationen welche Rechnungen benötigt werden. Ebenso wirst du vertiefen, welche mathematischen Ausdrücke auf welche Weise interpretiert werden. Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-6 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, gibt es am Ende eine Bonusaufgabe.“

Aufgabe 1: Silvesterkracher

Aufgabe 1: Silvesterkracher Abbildung 1 Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion $h(t)=7t^2$ beschrieben werden (siehe Abbildung 1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme zu den folgenden Termen die entsprechenden Werte $h(2)$ $h(4)-h(1)$ $\frac{h(4)-h(1)}{4-1}$ $h'(3)$ $\frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5}$, für t → 4,5 $h'(4,5)$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Setze die entsprechenden Werte für t in die entsprechende Funktion ein. Die Ableitung der Funktion ist h'(t)=14t. Für 5. überlege, was dieser Ausdruck ist und ob du diesen anders schreiben kannst. b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe in dein Heft. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Rakete hat nach zwei Sekunden eine Höhe von 28 Metern. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde überwindet die Rakete eine Höhe von 105 Metern. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete 35 m/s. Drei Sekunden nach dem Start ist die momentane Geschwindigkeit der Rakete 42 m/s. 4,5 Sekunden nach dem Start der Rakete beträgt die Geschwindigkeit der Rakete 63 m/s. siehe 5. c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die vorliegende Modellierung nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist? Schreibe in dein Heft. Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege, wie der Graph der Funktion für Werte von t>5 verläuft. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Rakete kann nicht unendlich hoch fliegen und bereits nach 5 Sekunden ist eine Höhe von 175 Metern erreicht. Nach der Explosion des Feuerwerkskörpers fällt er wieder runter und verliert somit an Höhe, die Steigung der Funktion müsste demnach irgendwann wieder negativ werden, was nach der obigen Modellierung für keine positiven Werte von t eintrifft.

Aufgabe 2: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten

Aufgabe 2: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen. b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen. Tipp zu a) und b) anzeigen Tipp zu a) und b) verstecken Bei a) ist die Einheit der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit! Man dividiert die Einheit der y-Achse durch die Einheit der x-Achse. Bei a) erhält man für die Ableitungsfunktion also die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit. Gehe in anderen Beispielen genauso vor. c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f(x) ist die Ableitungsfunktion von g(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage. Tipp zu c) anzeigen Tipp zu c) verstecken Versuche hier andersherum zu denken und überlege, wie du die Einheit und somit den Sachverhalt der ursprünglichen Funktion ermitteln kannst, wenn du diese Informationen zu der Ableitungsfunktion gegeben hast.

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Vorlagen

Aufgabe Tangente

Aufgabe 1 Sachzusammenhang

Aufgabe Der Parameter a Änderung

Übung Ableitungsregeln

Merke Differenzenquotient

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