Benutzer:Valentin WWU3

Aufgabe 5: Zoobesucher

Aufgabe 5: Zoobesucher {{{2}}}

Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos (in 100 Personen) kann durch die Funktion b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5 näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.

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Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Die Lösungen musst du per Hand ausrechnen und kannst sie anschließend mit diesen vergleichen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?

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Die Ableitung lautet: b'(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2

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Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also 0 = b'(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 , dann erhält man t_1 = 8 und t_2 = 16. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also t = 10) öffnet, ist t_2 die einzige Lösung.
Setzt man das in die Funktion ein erhält man: b(16) = 11,3 .
Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.

b) Wann ist die Besucherzahl am geringsten? Und warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?

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Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.

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Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.

c) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

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Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.

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Die zweite Ableitung lautet: b(t) = - 0,3 t + 3,6

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Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.

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Aufgabe 6: Die Autofahrt

Aufgabe 6 Die Autofahrt