Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt

Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt. In den Aufgaben 1 und 2 wird die grundlegende Vorstellung von Sekanten und Tangenten behandelt. In den Aufgaben 3, 4 und 5 geht es darum Tangentengleichungen und Normalengleichungen aufzustellen. Aufgabe 6 behandelt den Zusammenhang der Steigung und der Ableitung in einem Punkt. Bei den Aufgaben 7 und 8 handelt es sich um Forderaufgaben im Bereich lokale Linearität und Ableitung in besonderen Punkten.

Aufgabe 1: Lückentext zur Begriffsklärung

Aufgabe 2: Weiterführender Lückentext In diesem Applet siehst du den Graphen einer Funktion f und eine Gerade a. Weiterhin findest du in der rechten oberen Ecke zwei Regler, an denen du x0 und h einstellen kannst. Hinweis: Beachte hier, dass die Dezimalzahlen mit Punkt und nicht wie gewohnt mit Komma getrennt werden. Was fällt dir in Hinblick auf die Gerade a auf, wenn du den Regler von h verstellst? Fülle dazu den unter dem Applet stehenden Lückentext aus. Benötigst du einen Tipp? Dann klicke auf die Glühbirne in der oberen linken Ecke des Lückentextes. Verwende für das Ausfüllen der Lücken bitte die folgende Schreibweise für Koordinaten: "(x/y)".

Aufgabe 3: Arbeitsschritte zurodnen

Aufgabe 4: Tangentengleichung aufstellen a) Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x)=-1/3x^2+3$ im Punkt $x=-3$. Tipp anzeigen Tipp verstecken Falls du dich nicht mehr an die Vorgehensweise erinnern kannst, kannst du Aufgabe 3 zur Hilfe nehmen. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Gleichung der Tangente lautet $y=2x+6$. b) In welchem Punkt berührt die Tangente $y=x+1$ den Graphen $f(x)=x^3+3x^2+3x+1$? Tipp anzeigen Tipp verstecken Um den Berührpunkt zu berechnen, musst du die beiden Gleichungen gleichsetzen und nach x auflösen. Lösung anzeigen Lösung verstecken Lösung 2 anzeigen Lösung 2 verstecken Die Tangente berührt den Graphen in den Punkten (0|1), (-1|0), (-2|-1).

Aufgabe 5: Tangente durch Normale Berechne die Gleichung einer Tangente an die Funktion $f(x)=(x-1)^2+1$ so, dass die Tangente g senkrecht zur Tangente a an der Stelle 1,25 (Punkt A) ist. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Berechne zunächst die Tangente an Punkt A und nutze Tipp 2, falls du einen weiteren Hinweis benötigst. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Falls m1 * $m_2 = -1$ gilt, so stehen die Geraden senkrecht aufeinander. (Mit $m_1, m_2$ sind die beiden Steigungen der Geraden gemeint.) Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Gleichung der Tangente lautet $g(x)=-2x+2$.

Aufgabe 6: Richtig oder Falsch? Schaue dir das Applet an und entscheide auf Grundlage dessen, ob die unten stehenden Aussagen richtig oder falsch sind. Hinweis: Du kannst den Punkt P und auch die damit verbundene Tangente t mit deiner Maus bewegen, um dir die Aussagen zu veranschaulichen.

Aufgabe 7: Lokale Linearität In der Abbildung siehst du eine Funktion, sowie eine Tangente dieser Funktion im Punkt A. Mit dem Schieberegler kannst du an der markierten Stelle ran- und rauszoomen. Der rot markierte Ausschnitt ist auf der rechten Seite der Abbildung vergrößert dargestellt. Probiere zunächst aus, was passiert, wenn du ganz nah reinzoomst und den Ausschnitt so weit es geht vergrößerst. Bewerte folgende Aussage: "Wenn man sehr stark zoomt, stimmt die Funktion an der Stelle A mit der Tangente überein". Was hast du gesehen? Stimmst du zu? Wenn ja, warum? Halte deine Überlegungen stichpunktartig fest und überprüfe diese anschließend anhand der unten stehenden Lösung. Lösung anzeigen Lösung verstecken Wenn du es im Applet ausprobiert hast, wirst du genau das sehen: Wenn man an einer Stelle der Funktion eine Tangente anlegt, stimmt diese in gewissem Maße mit dieser Funktion überein. Nämlich genau dann, wenn man ganz nah heranzoomt. Daher kann man auch die Tangentensteigung als Instrument zur Bestimmung der Steigung in einem Punkt (Ableitung) verwenden.

Aufgabe 8: Notwendige Bedingung In der untenstehenden Grafik siehst du den Graph einer Funktion, sowie deren Punkt P. Bei P ist eine Tangente an die Funktion angelegt, erkennnbar durch die rot gestrichelten Linien. Der Punkt lässt sich verschieben. Mithilfe des Buttons oben rechts im Applet lässt sich der Punkt zur ursprünglichen Position zurücksetzen. a) Bestimme mithilfe der Abbildung durch genaues Hinsehen die Ableitung der Funktion im Punkt P. b) Lisa findet den "Knick" der Funktion lustig, und möchte daher die Ableitung in diesem Punkt bestimmen. Sie verschiebt also den Punkt in der Grafik, um dort eine Tangente anlegen zu können. Ihr fällt auf: "Komisch, in dem Punkt ist das schwierig. So genau kann ich da gar keine Tangente einzeichnen! Ich würde sagen, es gibt zwei verschiedene Tangenten in dem Punkt. Was bedeutet das denn für die Ableitung?" Versuche nachzuvollziehen was Lisa meint, indem du wie sie den Punkt P verschiebst. Kann das überhaupt sein? Wie würdest du Lisas Frage beantworten? Tipp anzeigen Tipp verstecken zu a) Mach dir klar, wie dir die eingezeichnete Tangente helfen kann. Wie hängt die Tangente mit der Ableitung zusammen? Dann kannst du die Lösung einfach ablesen. zu b) Erinnere dich an die Definition der Tangenten. Lösung zu a) anzeigen Lösung zu a) verstecken Steigung der Tangenten m=0,91, also gilt für die Ableitung der Funktion f in P: f'(0,54)=0,91. Lösung zu b) anzeigen Lösung zu b) verstecken Nein, es kann keine zwei verschiedenen Tangenten in einem Punkt geben. Für die Ableitung an dieser "Knickstelle" bedeutet dies, dass sie gar nicht existiert, eben da man keine eindeutige Tangente einzeichnen kann. Obwohl man die Ableitung an allen anderen Punkten der Funktion schon bilden kann, spricht man davon, dass die gesamte Funktion keine Ableitungsfunktion besitzt. Sie ist also "nicht differenzierbar". Es gibt außer dieser noch weitere Funktionen, für die dies gilt.