Nullstellen

Aufgabe 1 Lösung anzeigen Lösung verstecken $x^2-x+2=0$ --> pq-Formel $x^4+3x^2-9=0$ --> Substitution, dann pq-Formel $6x^3-3x^2=0$ --> Ausklammern von $x^2$, dann einfaches Umformen $(x-2)(x+3)=0$ --> Ablesen $x^6-4x^3+1=0$ --> Substitution, dann pq-Formel $4x^4-8x^3+2x^2=0$ --> Ausklammern, dann pq-Formel

Aufgabe 2 Tipp anzeigen Tipp verstecken Ihr kennt verschiedene Verfahren, die bei der Nullstellenberechnung helfen: Ablesen, Ausklammern, Substitution, einfaches Umformen und pq-Formel. Tipp anzeigen Tipp verstecken Einmal können euch die binomischen Formeln weiterhelfen. Lösung anzeigen Lösung verstecken $f(x)=(x-3)(x-1)^2$ hat die Nullstellen: (3,0),(1,0) $f(x)=x^4+4x^2$ hat die Nullstellen (0,0),(-2,0),(2,0) $f(x)=x^4-3x^2-4$ hat die Nullstellen (2,0),(-2,0) $f(x)=x^2-x-12$ hat die Nullstellen (-3,0),(4,0) $f(x)=x^3-x^2-6x$ hat die Nullstellen (0,0),(-2,0),(3,0) $f(x)=(x-1)(2x^2-8)$ hat die Nullstellen (1,0),(-2,0),(2,0) weitere Übung anzeigen weitere Übung verstecken Das Thema Nullstellen findet sich im Buch auf S. 26ff.

Aufgabe 3 Bestimme die Nullstellen der Funktion f. a) $f(x)=1/2x^2-2x-2$ b) $f(x)=(x-5)(x^2-x+1)$ c) $f(x)=2x^4-x^3$ d) $f(x)=2x^4-8x^2-90$ Lösung anzeigen Lösung verstecken a) Nullstellen: $2-\sqrt{8}$ und $2+\sqrt{8}$ b) Nullstelle: 5 c) Nullstellen: 0 und 0,5 d) Nullstellen: 3 und -3

Aufgabe 4 Gebe eine ganzrationale Funktion vierten Grades an, die die angegebenen Nullstellen besitzt. a) 1 und -1 b) -2, 0 und 1 c)-3, 1, 2 und 4 Tipp anzeigen Tipp verstecken Verwende die Idee, dass man bei der Darstellung in Linearfaktoren die Nullstellen direkt ablesen kann. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) z.B. $f(x)=(x-1)^2(x+1)^2$ b) z.B. $f(x)=(x+2)^2x(x-1)=x^3+x^2-x$ c) z.B. $f(x)=(x+3)(x-1)(x-2)(x-4)$

Aufgabe 5 Tipp anzeigen Tipp verstecken Versucht Gegenbeispiele zu finden, um zu begründen, dass Aussagen falsch sind. Lösung anzeigen Lösung verstecken Es gibt keine ganzrationale Funktion dritten Grades, die keine Nullstelle hat. --> Da die Funktion für x->-∞ und x->∞ nicht das gleiche Unendlichkeitsverhalten hat, muss sie zwangsläufig die x-Achse schneiden und hat eine Nullstelle. Der Graph einer ungeraden Funktion läuft durch den Ursprung. --> Gegenbeispiel: $f(x)=x^3-1$ Wenn eine ganzrationale Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Nullstelle. --> Die Funktion kann auch mehrfache Nullstellen haben. Bsp.: $f(x)=x^4$ hat nur eine Nullstelle (x=0). Eine ganzrationale Funktion dritten Grades hat genau drei Nullstellen. --> Gegenbeispiel: $f(x)=x^3$

Merke

Merke