Testseite

„Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen. Du wiederholst, in welchen Sachsituationen welche Rechnungen benötigt werden. Ebenso wirst du vertiefen, welche mathematischen Ausdrücke auf welche Weise interpretiert werden. Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-6 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, gibt es am Ende eine Bonusaufgabe.“

Aufgabe 1: Dieselpreise

Aufgabe 1: Dieselpreise Die Grafik zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 bis zum 18.10.2018. Dieselpreisentwicklung a) Berechnen den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018. Hier kannst du deine Lösung eintragen und schauen, ob sie richtig ist. Tipp anzeigen Tipp verstecken Gesucht ist die durchschnittliche Änderungsrate, wobei f(5) den Dieselpreis am 17.10.2018 angibt, d.h. da der 17.10.2018 der fünfte Tag ist, betrachten wir x=5. Lösung anzeigen Lösung verstecken 0 €/Tag b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft. Tipp anzeigen Tipp verstecken Wie teuer war der Diesel am 14.10.2018, wenn man nur den Durchschnittswert betrachtet. Lösung anzeigen Lösung verstecken Betrachtet man den durchschnittlichen Preisanstieg im Bereich vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018, so entsteht der Eindruck, dass sich der Dieselpreis in diesem kompletten Zeitraum nicht geändert hat. Es wäre somit egal gewesen, wann man in diesem Zeitraum tankt. Betrachtet man allerdings die Grafik, so wird deutlich, dass dies nicht der Fall ist.

Aufgabe 2: Zuordnen

Aufgabe 2: Zuordnen Der Graph der Funktion f(t) beschreibt die Flugbahn eines Balls. f(t) gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden an. Fülle den folgenden Lückentext aus: Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Die Geschwindigkeit des Balls in einem Punkt s ist gerade die Steigung in diesem Punkt. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken In welchem Zusammenhang stehen Höhe des Balls, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung in Bezug auf ihre Ableitung? Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Wenn die Funktion an der Stelle s die stärkste Steigung hat, dann bedeutet dies für die 1. Ableitung, dass sie an der Stelle s einen Hochpunkt hat. Was bedeutet das für die 2.Ableitung ? Tipp 4 anzeigen Tipp 4 verstecken Was beschreibt die Funktion f(t)? Wie sieht der Graph ungefähr aus? Welche Steigung ist in diesem Punkt s vorzufinden? Was bedeutet dies für den Wert f'(s)? Tipp 5 anzeigen Tipp 5 verstecken Wie hoch ist der Ball, wenn er auf der Erdoberfläche auftrifft? Tipp 6 anzeigen Tipp 6 verstecken Zu welchem Zeitpunkt wurde der Ball abgworfen? Tipp 7 anzeigen Tipp 7 verstecken Um die durchschnittliche Geschwindigkeit zu bestimmen, betrachte ich die Änderung der Höhe für den Anfangs- und Endwert des Bereiches. Lösung anzeigen Lösung verstecken Wenn die Geschwindigkeit des Balls zu einem Zeitpunkt s gesucht ist, bedeutet dies, dass ich die momentane Änderungsrate der Funktion f(t) an der Stelle s bestimmen muss. Dazu berechne ich f '(s). Möchte ich allerdings die Beschleunigung des Balls zu einem Zeitpunkt s betrachten, so suche ich die momentane Änderungsrate der Ableitung der Funktion f(t) an der Stelle s. Dazu berechne ich f (s). Wird nach der stärksten Steigung der Funktion f(t) gefragt, so muss ich die Wendestelle bestimmen. Dafür muss f (s)=0 und f '(s) ≠ 0 gelten. Soll ich die maximale Höhe des Balls angeben, so muss ich den Hochpunkt bestimmen. Dafür muss f '(s)=0 und f (s) < 0 gelten. Wann der Ball wieder auf der Erdoberfläche aufkommt, gibt die Nullstelle an. Dazu berechne ich f(s)=0. Außerdem gibt der y-Achsenabschnitt an, aus welcher Höhe der Ball abgeworfen wurde. Hierzu berechne ich f(0). Suche ich die durchschnittliche Geschwindigkeit in einem Bereich m bis n, so suche ich für diesen Bereich die durchschnittliche Änderungsrate, dies ist gerade der Wert des Differentenquotienten.

Aufgabe 3: Silvesterkracher

Aufgabe 3: Silvesterkracher Abbildung 1 Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion $h(t)=7t^2$ beschrieben werden (siehe Abbildung 1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte. $h(2)$ $h(4)-h(1)$ $\frac{h(4)-h(1)}{4-1}$ $h'(3)$ $\frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5}$ für t → 4,5 $h'(4,5)$ Tipp anzeigen Tipp verstecken Setze die entsprechenden Werte für t in die entsprechende Funktion ein. Die Ableitung der Funktion ist h'(t)=14t. Für 5. überlege, was dieser Ausdruck ist und ob du diesen anders schreiben kannst. b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe in dein Heft. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Rakete hat nach zwei Sekunden eine Höhe von 28 Metern. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde überwindet die Rakete eine Höhe von 105 Metern. Zwischen der ersten und der vierten Sekunde beträgt die durchschnittliche Geschwindigkeit der Rakete 35 m/s. Drei Sekunden nach dem Start ist die momentane Geschwindigkeit der Rakete 42 m/s. 4,5 Sekunden nach dem Start der Rakete beträgt die Geschwindigkeit der Rakete 63 m/s. siehe 5. c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die vorliegende Modellierung nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist? Schreibe in dein Heft. Tipp anzeigen Tipp verstecken Überlege, wie der Graph der Funktion für Werte von t>5 verläuft. Lösung anzeigen Lösung verstecken Die Rakete kann nicht unendlich hoch fliegen und bereits nach 5 Sekunden ist eine Höhe von 175 Metern erreicht. Nach der Explosion des Feuerwerkskörpers fällt er wieder runter und verliert somit an Höhe, die Steigung der Funktion müsste demnach irgendwann wieder negativ werden, was nach der obigen Modellierung für keine positiven Werte von t eintrifft.

Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten

Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen. b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen. Tipp zu a) und b) anzeigen Tipp zu a) und b) verstecken Bei a) ist die Einheit der Funktionswerte der Funktion f(t) Meter. Die Werte der x-Achse sind in der Einheit Sekunden gegeben. Wenn man die Ableitung bildet, verändert sich die Einheit der Funktionswerte! Man dividiert die Einheit der y-Achse durch die Einheit der x-Achse. Bei a) erhält man für die Funktionswerte der Ableitungsfunktion also die Einheit m/s. Dies steht für eine Geschwindigkeit. Gehe in anderen Beispielen genauso vor. c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f(x) ist die Ableitungsfunktion von g(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage. Tipp zu c) anzeigen Tipp zu c) verstecken Versuche hier andersherum zu denken und überlege, wie du die Einheit und somit den Sachverhalt der ursprünglichen Funktionswerte ermitteln kannst, wenn du diese Informationen zu der Ableitungsfunktion gegeben hast.

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Vorlagen

Aufgabe Tangente

Aufgabe 1 Sachzusammenhang

Aufgabe Der Parameter a Änderung

Übung Ableitungsregeln

Merke Differenzenquotient

Dateien

Basketballwurf

Landschaft