Höhensatz

Arbeitsaufträge:

• Schaue dir das Video zur Satzgruppe des Pythagoras genau an.
• Beantworte die Kontrollfragen.
• Notiere dir, anhand der vorgegebenen Fragen, Bemerkungen in OneNote.
• Luca, Michael, Alexander, David erstellen einen Hefteintrag in Word.
• Für Interessierte gibt es auch noch die Herleitung der Umkehrung des Satzes von Thales (Diese Aufgabe ist optional).

Der Höhensatz des Euklid

Merke: Satz des Pythagoras
Wenn ein Dreieck $ABC$ bei $C$ rechtwinklig ist, dann gilt folgender Zusammenhang: $h^2_c=q\cdot p$, wobei die Höhe die Seite $c$ in $q$ und $p$ teilt.

Kontrollfragen

Für Interessierte: Beweis des Kehrsatzes (Optional)

Wir gehen davon aus, dass ein Dreieck wie das gezeichnete rechtwinklig ist. Es gilt: $a^2+b^2=c^2$ und $c=q+p$. Außerdem gilt für die Dreiecke AHC und HBC:$q^2+h^2=b^2$ und $p^2+h^2=a^2$ Addieren wir die letzten beiden Gleichungen miteinander so folgt: $\begin{align} p^2+h^2+q^2+h^2= & a^2+b^2 \\ p^2+q^2+2h^2= & c^2 \\ p^2+q^2+2h^2= & (q+p)^2 \\ p^2+q^2+2h^2= & q^2+2qp+p^2 \\ 2h^2= & 2qp \\ h^2= & qp \end{align}$

Hefteintrag

Quellenangabe

Video "Höhensatz des Euklid" von Lehrerschmidt, über https://www.youtube.com/watch?v=-fKlC5J_xLY (Zugriff am 13.10.2018)