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Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1. | Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1. | ||
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<br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup> | <br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup> | ||
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| − | Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos kann durch die Funktion b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t < 19,5 näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt ''t'' die Uhrzeit in Stunden an. | + | Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos (in 100 Personen) kann durch die Funktion b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t < 19,5 näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt ''t'' die Uhrzeit in Stunden an. |
| + | '''a)''' | ||
| + | Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es? | ||
| + | <popup name="Tipp">Die Ableitung lautet: b'(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 </popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also 0 = b'(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 , dann erhält man t_1 = 8 und t_2 = 16. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also t = 10) öffnet, ist t_2 die einzige Lösung. <br/> Setzt man das in die Funktion ein erhält man: b(16) = 11,3 . <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup> | ||
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| + | '''b)''' | ||
| + | Wann ist die Besucherzahl am geringsten? Und warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen? | ||
| + | <popup name="Tipp">Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.</popup> | ||
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| + | '''c)''' | ||
| + | Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten? | ||
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| + | <popup name="Tipp 1">Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.</popup> | ||
| + | <popup name="Tipp 2">Die zweite Ableitung lautet: b''(t) = - 0,3 t + 3,6</popup> | ||
| + | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup> | ||
Version vom 26. Oktober 2018, 23:24 Uhr
Vorlagen
 Aufgabe 6
Die Autofahrt |
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1.
a)
b)
Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind?
c)
Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren?
Schreibe die Lösung in dein Heft.
d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?
"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
e)
Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?
Schreibe die Lösung in dein Heft.
f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.
Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos (in 100 Personen) kann durch die Funktion b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t < 19,5 näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an. a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b)
Wann ist die Besucherzahl am geringsten? Und warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?
c)
Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
