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Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen

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'''c)''' Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren?
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'''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?
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Schreibe die Lösung in dein Heft. <br />
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<popup name="Tipp 1">Beachte die Einheiten. Die Fahrtzeit ist in Minuten [min] angegeben und die Geschwindigkeit in Stundenkilometer/Kilometer pro Stunde [km/h].</popup>
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<popup name="Tipp 2">Wie lang ist die Zeit zwischen Minute 67 bis Minute 82? Rechne diese Differenz von Minuten [min] in Stunden [h] um.</popup>
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<popup name="Tipp 3">In dem Zeitraum liegen 15 Minuten, die entsprechen 1/4 Stunde. Wenn man 15 Minuten, also eine Viertelstunde, mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h fährt. Wie viel Strecke hat man dann zurückgelegt?</popup>
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<popup name="Lösung">Von Minute 67 bis Minute 82 ist eine Viertelstunde vergangen, in der die Familie 12,5 km zurückgelegt hat.</popup> <br />
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'''d)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?
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"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
 
"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
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<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math>  <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math>  <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math>  <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math>  <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup>
 
<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math>  <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math>  <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math>  <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math>  <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup>
 
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'''e)''' Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?
 
  
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Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
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'''b)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br />
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<popup name="Tipp">Betrachte die vorherigen Aufgaben und ihre Ergebnisse noch einmal.</popup>
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<popup name="Lösung">Wenn die Ableitung die '''Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit''' angibt, dann gibt die Funktion die '''Strecke in Abhängigkeit von der Zeit''' an.</popup> <br />
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'''f)''' Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.<br />
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<popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil '''d)''' kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:
 
<popup name="Lösung">Die durchschnittliche Geschwindigkeit ergibt sich durch die gefahrene Strecke dividiert durch die Zeitspanne (2h). Aus Aufgabenteil '''d)''' kennen wir die gefahrene Strecke näherungsweise:
 
<br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h'''
 
<br/>Also: '''140,5 km / 2 h = 70,25 km/h'''
 
<br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup>}}
 
<br/>''Auch hier kann dein Ergebnis abweichen, wenn du in '''d)''' ein anderes Ergebnis berechnet hast''</popup>}}
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'''c)''' Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?
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Schreibe die Lösung in dein Heft.<br />
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<popup name="Tipp">Betrachte die Aufgabe '''a)''' und ihre Ergebnisse noch einmal.</popup>
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<popup name="Lösung">Wenn die Ableitung die '''Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit''' angibt, dann gibt die Funktion die '''Strecke in Abhängigkeit von der Zeit''' an.</popup> <br />
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'''d)''' Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft.
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<popup name="Tipp"></popup>
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<popup name="Tipp"> Wir wissen aus Aufgabenteil '''a)''', dass die Familie in bestimmten Zeitabständen gewisse Wege zurückgelegt hat und insgesamt nach 2 Stunden 140,5 km gefahren ist. </popup>
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<popup name="Lösung">[[Datei:Autofahrt(Strecke).png|800px|zentriert|thumb|Abb. 6.2: Skizze über die gefahrene Strecke von Peters Familie.]]</popup>
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Version vom 18. November 2018, 18:26 Uhr

Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.

Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.


Inhaltsverzeichnis

Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 1: Dieselpreise

Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).

Abb. 1.1: Dieselpreisentwicklung

a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
Hier kannst du deine Lösung eintragen und überprüfen, ob sie richtig ist.



b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft.



Wiederholung wichtiger Signalwörter

Stift.gif   Aufgabe 2: Zuordnen

Der Graph der Funktion f(t) beschreibt die Flugbahn eines Balls. f(t) gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden an.
Fülle den folgenden Lückentext aus:

Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

Stift.gif   Aufgabe 3: Silvesterkracher
Abb. 3.1: Höhe einer Feuerwerksrakete
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion h(t)=7t^2 beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben.

a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein.

1. h(2)


2. h(4)-h(1)


3. \frac{h(4)-h(1)}{4-1}


4. h'(3)


5. \frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5} für t → 4,5


6. h'(4,5)



b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Überlegungen in dein Heft.

c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start?

d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft.

Einheiten der Ableitungsfunktion

Stift.gif   Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten


a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen.

b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.


c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f'(x) ist die Ableitungsfunktion von f(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.




Funktionsuntersuchung

Stift.gif   Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo


Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5 für 10 < t \leq 19,5
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.

Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.

a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?


b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.


c) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?


d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet:

Abb. 5.2: Besuchszahlen im Winter

Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung.


Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung

Stift.gif   Aufgabe 6 : Die Autofahrt

Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit stellt Peter vereinfacht mit einem Graphen, wie in Abbildung 6.1, dar.

Abb. 6.1: Geschwindigkeitsprofil einer Urlaubsfahrt


a) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?

"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.


b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.


c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?

Schreibe die Lösung in dein Heft.



d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft.

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