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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
(→Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten) |
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<popup name="Tipp 2">Die Ableitungen lauten: <math>b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> und <math>b '' (t) = - 0,3 t + 3,6 </math></popup> | <popup name="Tipp 2">Die Ableitungen lauten: <math>b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> und <math>b '' (t) = - 0,3 t + 3,6 </math></popup> | ||
− | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> , dann erhält man <math>t_1 = 8</math> und <math>t_2 = 16 </math>. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also <math>t = 10</math>) öffnet, ist <math>t_2</math> die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man <math>b''(t_2)= - 1,2 < 0 </math>, also ist <math>t_2</math> die Maximalstelle. <br/> | + | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math>, dann erhält man <math>t_1 = 8</math> und <math>t_2 = 16 </math>. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also <math>t = 10</math>) öffnet, ist <math>t_2</math> die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man <math>b''(t_2)= - 1,2 < 0 </math>, also ist <math>t_2</math> die Maximalstelle. <br/> Setzt man die Maximalstelle in die Funktion ein erhält man: <math>b(16) = 11,3</math>. Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert. <br/> <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup> |
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<popup name="Tipp 3">Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ. </popup> | <popup name="Tipp 3">Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ. </popup> | ||
− | <popup name="Lösung"> Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion <math>g</math>. Für die Gleichung <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0 </math> gibt es drei Lösungen: <math> t_1 = 10</math>, <math> t_2 = 17</math> und <math> t_3 = 25</math>. Die zweite Ableitung <math> g '' (t) = 0,375 t - 6,5 </math> ist kleiner als 0 für <math> 10 \leq t \leq 17</math>. Also ist die Funktion <math> g </math> zwischen diesen Nullstellen positiv. < | + | <popup name="Lösung"> Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion <math>g</math>. Für die Gleichung <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0 </math> gibt es drei Lösungen: <math> t_1 = 10</math>, <math> t_2 = 17</math> und <math> t_3 = 25</math>. Die zweite Ableitung <math> g '' (t) = 0,375 t - 6,5 </math> ist kleiner als 0 für <math> 10 \leq t \leq 17</math>. Also ist die Funktion <math> g </math> zwischen diesen Nullstellen positiv. <br/> Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für <math> 10 \leq t \leq 17</math>, also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.</popup> |
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'''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? | '''a)''' Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? | ||
− | "Näherungsweise" bedeutet | + | "Näherungsweise" bedeutet: An dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.<br /> |
<popup name="Tipp">Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man berechnen kann. (Zeit*Geschwindigkeit=Strecke)</popup> | <popup name="Tipp">Wenn man die Beschleunigs- und Bremsphasen beiseite lässt, erhählt man fünf einzelne Abschnitte, die man berechnen kann. (Zeit*Geschwindigkeit=Strecke)</popup> | ||
<popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math> <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math> <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math> <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math> <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup> | <popup name="Lösung"> Strecke AB (6 Minuten): <math>0,1 h * 30 km/h = 3 km</math> <br/> Strecke CD (20 Minuten): <math>0,333 h * 50 km/h = 16,666 km</math> <br/> Strecke EF (30 Minuten): <math>0,5 h * 100 km/h = 50 km</math> <br/> Strecke GH (15 Minuten): <math>0,25 h * 50 km/h = 12,5 km</math> <br/> Strecke IJ (35 Minuten): <math>0,583 h * 100 km/h = 58,33 km</math> <br/> '''Insgesamt also:''' <math>3 km + 16,66 km + 50 km + 12,5 km + 58,33 km = 140,5</math> </popup> |
Version vom 2. Dezember 2018, 18:56 Uhr
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Inhaltsverzeichnis |
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6). a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
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Wiederholung wichtiger Signalwörter
Der Graph der Funktion beschreibt die Flugbahn eines Balls. gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit an. Dabei beschreibt die Zeit in Sekunden. |
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein. 1.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft. |
Einheiten der Ableitungsfunktion
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.
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Funktionsuntersuchung
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?
e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet: Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung. |
Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit stellt Peter vereinfacht mit einem Graphen, wie in Abbildung 6.1, dar.
"Näherungsweise" bedeutet: An dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
b) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.
c) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig? Schreibe die Lösung in dein Heft.
d) Wir nehmen wieder an, der abgebildete Graph stellt die Ableitung einer Funktion dar. Skizziere diese Funktion in dein Heft. |