Achtung:

Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.

Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.

Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten

im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).

Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Projektwiki - ein Wiki mit Schülern für Schüler.
Wechseln zu: Navigation, Suche
(→‎Aufgabe 2: Zuordnen)
Zeile 113: Zeile 113:
 
==Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo==
 
==Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo==
  
−
{{Aufgaben|5 : Ein Tag im Zoo}}Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen eines bestimmten Zoos (in 100 Personen) kann durch die Funktion <br /> b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5 <br /> näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt ''t'' die Uhrzeit in Stunden an.<br /> <br />
+
{{Aufgaben|5 : Ein Tag im Zoo}}Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion <br /> b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5 <br /> näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt ''t'' die Uhrzeit in Stunden an.<br /> <br />
 
[[Datei:Besucherzahlen2.png|500px|zentriert|thumb|Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos]] <br />
 
[[Datei:Besucherzahlen2.png|500px|zentriert|thumb|Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos]] <br />
 
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. <br />
 
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. <br />
 
'''a)''' Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?<br/>
 
'''a)''' Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?<br/>
 
<popup name="Tipp">Die Ableitung lautet: b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 </popup>
 
<popup name="Tipp">Die Ableitung lautet: b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 </popup>
−
<popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also 0 = b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 , dann erhält man <math>t_1</math> = 8 und <math>t_2</math>  = 16. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also t = 10) öffnet, ist <math>t_2</math>  die einzige Lösung. <br/> Setzt man das in die Funktion ein erhält man: b(16) = 11,3 . <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup>
+
<popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also 0 = b´(t) = - 0,15 t² + 3,6 t - 19,2 , dann erhält man <math>t_1</math> = 8 und <math>t_2</math>  = 16. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also t = 10) öffnet, ist <math>t_2</math>  die einzige Lösung. <br/> Setzt man das in die Funktion ein erhält man: b(16) = 11,3 . Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert. <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup>
 
<br/>
 
<br/>
−
'''b)''' Wann ist die Besucherzahl am geringsten? Und warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen? <br/>
+
'''b)''' Wann ist die Besucherzahl am geringsten? <br/>
−
<popup name="Tipp">Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.</popup>
+
<popup name="Tipp 1">Bei dieser Aufgabe ist es wichtig, sich den Definitionsbereich noch einmal genauer anzugucken. Du darfst auch mit der Abbildung 5.1 deine Begründung unterstützen.</popup>
 +
<popup name="Tipp 2">Warum ist es falsch, an dieser Stelle nach der Minimalstelle zu suchen?</popup>
 
<popup name="Lösung">Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.</popup>
 
<popup name="Lösung">Die Besucherzahl ist um 19:30 Uhr am geringsten. Das ist der einzige Nullpunkt im Definitionsbereich. Die Minimalstelle liegt, wie man in der Abbildung deutlich erkennen kann unterhalb der x-Achse und eine negative Besucherzahl ist nicht möglich. Außerdem liegt diese Stelle nicht mehr im Definitionsbereich.</popup>
 
<br/>
 
<br/>
 
'''c)''' Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten? <br/>
 
'''c)''' Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten? <br/>
 
<popup name="Tipp 1">Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.</popup>
 
<popup name="Tipp 1">Mit der Frage nach dem größten Andrang ist der größte Zuwachs an Besuchern gemeint.</popup>
−
<popup name="Tipp 2">Die zweite Ableitung lautet: b´´(t) = - 0,3 t + 3,6</popup>
+
<popup name="Tipp 2">Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.</popup>
−
<popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup>}}
+
<popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant b´(t) = - 0,3 ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup>}}
  
 
==Aufgabe 6: Die Autofahrt==
 
==Aufgabe 6: Die Autofahrt==

Version vom 12. November 2018, 23:14 Uhr

Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.

Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 1: Dieselpreise

Stift.gif   Aufgabe 1: Dieselpreise

Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).

Abb. 1.1: Dieselpreisentwicklung

a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
Hier kannst du deine Lösung eintragen und überprüfen, ob sie richtig ist.



b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft.



Aufgabe 2: Zuordnen

Stift.gif   Aufgabe 2: Zuordnen

Der Graph der Funktion f(t) beschreibt die Flugbahn eines Balls. f(t) gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden an.
Fülle den folgenden Lückentext aus:

Aufgabe 3: Silvesterkracher

Stift.gif   Aufgabe 3: Silvesterkracher
Abb. 3.1: Höhe einer Feuerwerksrakete
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion h(t)=7t^2 beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben.

a) Bestimme die folgenden Werte.

  1. h(2)
  2. h(4)-h(1)
  3. \frac{h(4)-h(1)}{4-1}
  4. h'(3)
  5. \frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5} für t → 4,5
  6. h'(4,5)


b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe in dein Heft.

c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start?
d) Erkläre, warum die vorliegende Modellierung nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist? Schreibe in dein Heft.


Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten

Stift.gif   Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten


a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen.

b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.

c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f(x) ist die Ableitungsfunktion von g(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.




Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo

Stift.gif   Aufgabe 5 : Ein Tag im Zoo

{{{2}}}

Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
b(t) = - 0,05 t³ + 1,8 t² - 19,2 t + 62,5 für 10 < t ≤ 19,5
näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.

Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.
a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?


b) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?


c) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

}}

Aufgabe 6: Die Autofahrt

Stift.gif   Aufgabe 6 : Die Autofahrt

Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1.

Abb. 6.1: Geschwindigkeitsprofil einer Urlaubsfahrt

a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten.


b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind?


c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren?

Schreibe die Lösung in dein Heft.


d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?

"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.


e) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?

Schreibe die Lösung in dein Heft.


f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.

Von „https://projektwiki.zum.de/index.php?title=Digitale_Werkzeuge_in_der_Schule/Trainingsfeld_Ableitungen/Die_Ableitung_im_Sachkontext&oldid=56728“