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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
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{{Aufgaben|5: Ein Tag im Zoo| | {{Aufgaben|5: Ein Tag im Zoo| | ||
− | Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion <br /> <math>b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5</math> für <math>10 < t | + | Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion <br /> <math>b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5</math> für <math>10 < t \leq 19,5</math> <br /> näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt <math>t</math> die Uhrzeit in Stunden an.<br /> <br /> |
[[Datei:Besucherzahlen2.png|500px|zentriert|thumb|Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos]] <br /> | [[Datei:Besucherzahlen2.png|500px|zentriert|thumb|Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos]] <br /> | ||
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. <br /> | Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. <br /> | ||
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'''a)''' Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?<br/> | '''a)''' Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?<br/> | ||
− | <popup name="Tipp">Die Ableitung lautet: <math> | + | <popup name="Tipp">Die Ableitung lautet: <math>b ' (t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> </popup> |
− | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = | + | <popup name="Lösung">Die Nullstellen der Ableitung entsprechen den Maximalstellen der Normalfunktion. Setzt man die Ableitung gleich 0, also <math>0 = b'(t) = - 0,15 t^2 + 3,6 t - 19,2</math> , dann erhält man <math>t_1 = 8</math> und <math>t_2 = 16 </math>. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also <math>t = 10</math>) öffnet, ist <math>t_2</math> die einzige Lösung. <br/> Setzt man das in die Funktion ein erhält man: <math>b(16) = 11,3</math> . Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert. <br/>'''Die Antwort: Mit 1130 Besuchern sind um 16:00 Uhr die meisten Menschen im Zoo.</popup> |
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<popup name="Tipp 2">Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.</popup> | <popup name="Tipp 2">Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.</popup> | ||
− | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math> | + | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math>b ' (t) = - 0,3</math> ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup>}} |
==Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung== | ==Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung== |
Version vom 18. November 2018, 14:35 Uhr
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Inhaltsverzeichnis |
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6). a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
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Wiederholung wichtiger Signalwörter
Der Graph der Funktion beschreibt die Flugbahn eines Balls. gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit in Sekunden an. |
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein. 1.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft. |
Einheiten der Ableitungsfunktion
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.
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Funktionsuntersuchung
Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten? |
Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1. a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten.
b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind? c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren? Schreibe die Lösung in dein Heft. d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? "Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
Schreibe die Lösung in dein Heft. f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist. |