Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.
Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.
Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten
im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Die Ableitung im Sachkontext: Unterschied zwischen den Versionen
| Zeile 187: | Zeile 187: | ||
<popup name="Tipp 2">Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.</popup> | <popup name="Tipp 2">Der größte Zuwachs an Besuchern entspricht dem Maximum der ersten Ableitung.</popup> | ||
| − | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math>b ' (t) = - 0,3</math> ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup>}} | + | <popup name="Lösung">Indem die zweite Ableitung gleich 0 gesetzt wird, kann man die Wendestelle ausrechnen. Daraus ergibt sich t = 12. Da die dritte Ableitung konstant <math>b ' (t) = - 0,3</math> ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.</popup> |
| + | |||
| + | '''e)''' Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625</math> beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet: | ||
| + | [[Datei:Winterbesuch.png|thumb|Abb. 5.2: Besuchszahlen im Winter]] | ||
| + | |||
| + | Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung. | ||
| + | |||
| + | <popup name"Tipp 1">Warum kann nicht der gleiche Definitionsbereich wie für die Funktion <math>f</math> benutzt werden?</popup> | ||
| + | |||
| + | <popup name"Tipp 2">Ist die zweite Ableitung <math> g'' </math> negativ , so hat der Graph der Funktion <math> g </math> eine Rechtskrümmung. Ist die zweite Ableitung größer 0, so besitzt der Graph der Funktion <math> g </math> eine Linkskrümmung.</popup> | ||
| + | |||
| + | <popup name"Tipp 3">Wenn ein Graph zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen rechtsgekrümmt ist, so liegt er im positiven Bereich. Ist er zwischen zwei Nullstellen linksgekrümmt, so ist er in diesem Bereich negativ. </popup> | ||
| + | |||
| + | <popup name"Lösung"> Die Öffnungszeiten sind die Nullstellen der Funktion <math>g</math>. Für die Gleichung <math> g(t) = 0,0625 t^3 - 3,25 t ^2 + 52,8125 t - 265,625 = 0 </math> gibt es drei Lösungen: <math> t_1 = 10</math>, <math> t_2 = 17</math> und <math> t_3 = 25</math>. Die zweite Ableitung <math> g '' (t) = 0,375 t - 6,5 </math> ist kleiner als 0 für <math> 10 \leq t \leq 17</math>. Also ist die Funktion <math> g </math> zwischen diesen Nullstellen positiv. </br> Da nur positive Werte für Besucherzahlen Sinn ergeben, muss der Zoo für <math> 10 \leq t \leq 17</math>, also zwischen 10:00 Uhr und 17:00 Uhr, geöffnet sein.</popup> | ||
| + | }} | ||
| + | |||
==Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung== | ==Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung== | ||
Version vom 18. November 2018, 16:56 Uhr
|
Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte. |
Inhaltsverzeichnis |
Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang
 Aufgabe 1: Dieselpreise
Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).  a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
|
![[a,b]](/images/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png)
ist die durchschnittliche Steigung zwischen den beiden Punkten 
und 
, die auf dem Graph einer Funktion 
liegen. Berechnet wir diese durchschnittliche Steigung wie folgt: 
Wiederholung wichtiger Signalwörter
| Aufgabe 2: Zuordnen
Der Graph der Funktion |
beschreibt die Flugbahn eines Balls. 
in Sekunden an. 
die Geschwindigkeit des Balls in 
. Was gibt dann die zweite Ableitung der Funktion an? 
bestimmen muss. Dazu berechne ich 
.
.
und 
gelten.
und 
gelten.
.
.
Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten
Aufgabe 3: Silvesterkracher
  beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben. a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein. 1.
c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start? d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft. |
für t → 4,5
gibt die Höhe des Feuerwerkskörpers in Metern an und ist abhängig von der Zeit t in Sekunden. Die Geschwindigkeit der Rakete in 
wird durch die erste Ableitung 
angegeben. Um eine Funktion zu erhalten, die die Beschleunigung in 
angibt, musst du die zweite Ableitung 
bilden. Da nach der Beschleunigung drei Sekunden nach dem Start gefragt ist, muss man 
berechnen.
, 
. Nun setzt man ein und erhält 
. Die Beschleunigung beträgt also 
Einheiten der Ableitungsfunktion
| Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten
b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.
|
für h → 0 klar machen, der schließlich der Ableitung an der Stelle 
, also 
entspricht. Aus dem Differentialquotienten kann man die Einheit herleiten: Im Zähler stehen Werte der Ausgangsfunktion f und im Nenner steht h, also ein Wert der x-Achse. Man dividiert also die Einheit der Funktionswerte durch die Einheit der x-Achse.Funktionsuntersuchung
| Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo
 Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen. a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?
b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.
d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten? e) Im Winter können die Besucherzahlen für diesen Zoo durch die Funktion  Wie lauten die Öffnungszeiten im Winter? Argumentiere im Sachzusammenhang und mit der zweiten Ableitung. |
für 
und 
, dann erhält man 
und 
. Da der Zoo erst um 10:00 Uhr (also 
) öffnet, ist 
die einzige Lösung. Kontrolliert man den Wert mit der hinreichenden Bedingung, so erhält man 
, also ist 
. Da die Besucherzahlen in 100 Personen angegeben werden, ergibt sich die Lösung, wenn man 11,3 mit 100 multipliziert. 
, die kleiner als 0 sind, ergeben im Sachzusammenhang keinen Sinn. Es gibt keine negative Anzahl an Besuchern in einem Zoo. Das wichtigste Argument ist an dieser Stelle jedoch die Uhrzeit: Grundsätzlich ist es nur sinnvoll, wenn 
gilt, da ein Tag nur 24 Stunden hat. Da der Zoo aber nur ab 10:00 Uhr und bis 19:30 Uhr geöffnet hat, fallen alle weiteren Werte von 
ist, wird auch das hinreichende Kriterium erfüllt. Also sind die meisten Menschen um 12:00 Uhr auf den Weg in den Zoo.
beschrieben werden. Im folgenden ist der Graph der Funktion gezeichnet:
negativ , so hat der Graph der Funktion 
eine Rechtskrümmung. Ist die zweite Ableitung größer 0, so besitzt der Graph der Funktion 
gibt es drei Lösungen: 
, 
und 
. Die zweite Ableitung 
ist kleiner als 0 für 
. Also ist die Funktion
Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung
| Aufgabe 6 : Die Autofahrt
Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1.  a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten.
b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind? c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren? Schreibe die Lösung in dein Heft. d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt? "Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.
Schreibe die Lösung in dein Heft. f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist. |
