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Die Ableitung im Sachkontext

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Auf dieser Seite findest du Aufgaben, die dein Verständnis zum Sachkontext von Ableitungen vertiefen sollen. Du wiederholst, Ergebnisse im Sachzusammenhang zu interpretieren, Signalwörter in den Aufgabenstellungen zu erkennen und diese mit den entsprechenden rechnerischen Vorgehensweisen zu verknüpfen. Außerdem vertiefst du an verschiedenen Beispielen den Zusammenhang zwischen der Funktion und den einzelnen Ableitungen. Dies tust du vor allem mit Bezug auf die Einheiten der Funktionswerte.

Die Aufgaben 1-3 dienen als Einstieg und sind leichter zu lösen. In den Aufgaben 4-5 kannst du schwierigere Probleme lösen. Falls du dich schon sehr sicher fühlst, kannst du dich an die letzte Aufgabe begeben.


Inhaltsverzeichnis

Durchschnittliche Änderungsrate im Sachzusammenhang

Stift.gif   Aufgabe 1: Dieselpreise

Die Abbildung 1.1 zeigt die Entwicklung des Dieselpreises in Deutschland im Zeitraum vom 12.10.2018 (Tag 0) bis zum 18.10.2018 (Tag 6).

Abb. 1.1: Dieselpreisentwicklung

a) Berechne den durchschnittlichen Preisanstieg im Zeitraum vom 13.10.2018 bis zum 16.10.2018.
Hier kannst du deine Lösung eintragen und überprüfen, ob sie richtig ist.



b) Beurteile die Aussagekraft des in Teil a) ermittelten Durchschnittswertes und notiere dein Ergebnis im Heft.



Wiederholung wichtiger Signalwörter

Stift.gif   Aufgabe 2: Zuordnen

Der Graph der Funktion  f(t) beschreibt die Flugbahn eines Balls.  f(t) gibt die Höhe in Metern in Abhängigkeit von der Zeit  t in Sekunden an.
Fülle den folgenden Lückentext aus:

Funktionswerte und Ergebnisse im Sachzusammenhang deuten

Stift.gif   Aufgabe 3: Silvesterkracher
Abb. 3.1: Höhe einer Feuerwerksrakete
Die Höhe einer gezündeten Feuerwerksrakete kann in den ersten fünf Sekunden nach dem Start annähernd durch die Funktion h(t)=7t^2 beschrieben werden (siehe Abbildung 3.1). Dabei wird die Zeit t nach dem Start in Sekunden und die Höhe h(t) in Metern angegeben.

a) Bestimme die folgenden Werte und trage sie unten in die Lücken ein.

1. h(2)


2. h(4)-h(1)


3. \frac{h(4)-h(1)}{4-1}


4. h'(3)


5. \frac{h(t)-h(4,5)}{t-4,5} für t → 4,5


6. h'(4,5)



b) Interpretiere alle Ergebnisse aus a) im Sachzusammenhang. Schreibe deine Überlegungen in dein Heft.

c) Wie groß ist die Beschleunigung des Feuerwerkskörpers drei Sekunden nach dem Start?

d) Erkläre, warum die oben angegebene Funktion h(t) nur in den ersten fünf Sekunden nach dem Start geeignet ist, um den Sachverhalt zu beschreiben. Schreibe die Erklärung in dein Heft.

Einheiten der Ableitungsfunktion

Stift.gif   Aufgabe 4: Aussagen der Ableitungsfunktion und Änderung der Einheiten


a) Eine Funktion f(t) beschreibt die zurückgelegte Strecke eines Fahrradfahrers in Metern in Abhängigkeit von der Zeit t in Sekunden. Vervollständige die folgenden Aussagen.

b) In einem Wald werden nach einer Rodung neue Bäume gepflanzt. Der Förster misst die durchschnittliche Höhe der Bäume in Metern monatlich aus, notiert seine Messwerte und modelliert den Sachverhalt in einer Funktion f(x). Vervollständige die folgenden Aussagen.


c) Zum Herbst wird das Wasser im städtischen Freibad aus dem Becken abgelassen. Eine Funktion f'(x) ist die Ableitungsfunktion von f(x) und beschreibt die Abflussrate in Kubikmetern pro Stunde, wobei x die Zeit in Stunden angibt. Vervollständige die folgende Aussage.




Funktionsuntersuchung

Stift.gif   Aufgabe 5: Ein Tag im Zoo


Ein Zoo ist bekanntermaßen in den Sommerferien am besten besucht. Die Besucherzahlen (in 100 Personen) eines bestimmten Zoos können durch die Funktion
b(t) = - 0,05 t^3 + 1,8 t^2 - 19,2 t + 62,5 für Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): 10 < t ≤ 19,5


näherungsweise beschrieben werden. Dabei gibt t die Uhrzeit in Stunden an.

Abb. 5.1: Besucherzahl eines Zoos

Rechne die folgenden Aufgaben im Heft und vergleiche mit den angegebenen Lösungsvorschlägen.

a) Zu welcher Uhrzeit befinden sich am meisten Besucher in dem Zoo? Und wie viele sind es?


b) Begründe den so gewählten Definitionsbereich.


c) Wann ist die Besucherzahl am geringsten?


d) Zu welcher Uhrzeit ist der Andrang in den Zoo am größten?

Forderaufgabe: Ausblick auf die Integralrechnung

Stift.gif   Aufgabe 6 : Die Autofahrt

Familie Müller fährt zusammen in den Urlaub. Der Sohn Peter möchte gerne wissen, wie weit sie insgesamt gefahren sind. Dazu hat er die Geschwindigkeit des Autos zu bestimmten Zeitpunkten auf der Anzeige im Auto abgelesen und sich notiert. Die Geschwindigkeit könnte man in einem Graphen darstellen, wie in Abbildung 6.1.

Abb. 6.1: Geschwindigkeitsprofil einer Urlaubsfahrt

a) Fülle die Lücken mit den richtigen Antworten.


b) Was passiert in den Zeiträumen, in denen die Geschwindigkeit nicht konstant sind?


c) Wie viele Kilometer ist das Auto von Peters Familie in dem Zeitraum von Minute 67 bis Minute 82 gefahren?

Schreibe die Lösung in dein Heft.


d) Wie viele Kilometer hat Peters Familie in den ersten 2 Stunden näherungsweise zurückgelegt?

"Näherungsweise" bedeutet an dieser Stelle musst du nur die Phasen konstanter Geschwindigkeit in Betracht ziehen. Schreibe die Lösung in dein Heft.


e) Wir nehmen an, der abgebildete Graph beschreibt die Ableitung einer Funktion. Was gibt dann die Funktion an und wovon ist sie abhängig?

Schreibe die Lösung in dein Heft.


f) Berechne die durchschnittliche Geschwindigkeit, die Peters Familie in den ersten zwei Stunden gefahren ist.