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| − | Bei einer Kurvendiskussion werden markante Punkte gesucht, die uns Auskunft über die Eigenschaften einer Funktion geben. Das wichtigste Hilfsmittel ist dabei die Ableitung. Kenntnisse über den Zusammenhang einer Funktion und ihrer Ableitung sind daher grundlegend für die Analysis. In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Im Folgenden findest du Aufgaben um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst. | + | <div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td width="300px" valign="top"> |
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| + | "Bei einer Kurvendiskussion werden markante Punkte gesucht, die uns Auskunft über die Eigenschaften einer Funktion geben. Das wichtigste Hilfsmittel ist dabei die Ableitung. Kenntnisse über den Zusammenhang einer Funktion und ihrer Ableitung sind daher grundlegend für die Analysis. In diesem Lernpfad kannst du üben, Funktionen und ihre Ableitungen anhand ihrer Graphen zu untersuchen. Im Folgenden findest du Aufgaben um deine Kenntnisse im graphischen Ableiten zu vertiefen (Forderaufgaben) aber auch um Lücken zu schließen und Stoff zu wiederholen (Förderaufgaben). Unter jeder Aufgabe gibt es Hilfestellungen, auf die du zurückgreifen kannst, wenn du mal nicht weiterkommst." | ||
* Wenn dir das Thema noch Schwierigkeiten bereitet, beginne mit den Förderaufgaben (Aufgabe 1 bis Aufgabe 3). | * Wenn dir das Thema noch Schwierigkeiten bereitet, beginne mit den Förderaufgaben (Aufgabe 1 bis Aufgabe 3). | ||
* Wenn du dich bereits sicher fühlst, probiere die Forderaufgaben (Aufgabe 3 Aufgabe 5). | * Wenn du dich bereits sicher fühlst, probiere die Forderaufgaben (Aufgabe 3 Aufgabe 5). | ||
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| − | == Aufgabe 1 (Förderaufgabe) | + | ==Aufgabe 1: Graphen zuordnen== |
| + | {{Aufgaben|1 (Förderaufgabe)|Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu.}} | ||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=1688183" style="border:0px;width:100%;height:800px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 1">In welchen Intervallen steigen oder fallen die Graphen von f(x), wie muss hier die Ableitung aussehen?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 2">Schau dir die Graphen von f(x) an, erkennst du markante Punkte?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 3">Markante Punkte sind Hoch-/Tiefpunkte (Extremstellen) und Nullstellen, wie ist hier der Zusammenhang von Funktion und Ableitung</popup> |
<popup name="Lösung">Wo der Graph fällt, muss die Ableitung negativ sein. Wo der Graph steigt, muss die Ableitung positiv sein. Bei einer Extremstelle des Graphen muss die Ableitung eine Nullstelle haben.</popup> | <popup name="Lösung">Wo der Graph fällt, muss die Ableitung negativ sein. Wo der Graph steigt, muss die Ableitung positiv sein. Bei einer Extremstelle des Graphen muss die Ableitung eine Nullstelle haben.</popup> | ||
| − | == Aufgabe 2 (Förderaufgabe) | + | == Aufgabe 2: Lückentext == |
| − | + | {{Aufgaben|2 (Förderaufgabe)|Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze.}} | |
| − | Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze. | + | |
[[Datei:Aufgabe 3.png|f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)|1000px|links|rahmenlos]]<br /> | [[Datei:Aufgabe 3.png|f(x)=5x^(4)+3x^(3)-4x^(2)|1000px|links|rahmenlos]]<br /> | ||
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<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width:60%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfcxan3w218" style="border:0px;width:60%;height:300px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| − | == Aufgabe 3 (Förder- & Forderaufgabe) | + | == Aufgabe 3: Wer wird Millionär? == |
| − | + | {{Aufgaben|3 (Förder- & Forderaufgabe)|Finde die richtige Antwort.}} | |
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:70%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5695909" style="border:0px;width:70%;height:400px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 500">Welchen Grad hat beispielsweise die Funktion f(x)=x²?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 1000">Die Tangente berührt den Graphen in einem Punkt. Sie gibt Auskunft über die Steigung an dieser Stelle. Überlege, welche Steigung diese "besondere" Tangente hat.</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 5000">"Oberhalb" der x-Achse bedeutet: f'(x) ist positiv.</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 50000">Allgemeine lineare Funktionsgleichung: f(x)=mx+b</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 250000">An einer Wendestelle ist die Steigung maximal bzw. minimal</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 1000000">Denke an notwendige und hinreichende Bedingungen einer Wendestelle</popup> |
| − | == Aufgabe 4 (Forderaufgabe) | + | == Aufgabe 4: Skizzieren == |
| − | + | {{Aufgaben|4 (Forderaufgabe)|Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen.}} | |
| − | Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen. | + | |
[[Datei:Aufgabe 4.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x|1000px|links|rahmenlos]]<br /> | [[Datei:Aufgabe 4.png|f(x)=3x^(3)+2x^(2)-5x|1000px|links|rahmenlos]]<br /> | ||
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| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 1">Was sagt die Nullstelle einer Ableitung über ihre Stammfunktion aus?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 2">Was bedeuten negative Funktionswerte der Ableitungsfunktion für ihre Stammfunktion? Was positive Funktionswerte?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 3">Liegt eine Nullstelle in der Ableitung vor, hat die Stammfunktion hier eine Extremstelle. Verläuft die Ableitungsfunktion unterhalb der x-Achse, so fällt die Stammfunktion auf diesem Intervall. Für einen Verlauf oberhalb der x-Achse steigt die Stammfunktion.</popup> |
| − | + | <popup name="Tipp 4">Gibt es nur eine Möglichkeit, wie der Funktionsgraph verlaufen kann? Wie verändert eine Konstante den Verlauf von f(x) und was passiert mit ihr, wenn man f(x) ableitet?</popup> | |
| − | == Aufgabe 5 (Forderaufgabe) | + | == Aufgabe 5: Sonnenstunden == |
| + | {{Aufgaben|5 (Forderaufgabe)|}} | ||
Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an: | Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an: | ||
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# Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung. | # Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung. | ||
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 1">Trage die Werte in ein ausreichend großes Koordinatensystem ein, verbinde die Punkte in sinnvoller Weise.</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 2">Wie viele Extrema gibt es?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 3">Wie hilft dir hier die zweite Aufgabe?</popup> |
| − | <popup name=" | + | <popup name="Tipp 4">Wo nimmt die Ableitung den größten oder kleinsten Wert an? (Für 1 < x < 12)</popup> |
Version vom 26. Oktober 2018, 12:08 Uhr
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Inhaltsverzeichnis |
Aufgabe 1: Graphen zuordnen
 Aufgabe 1 (Förderaufgabe)
Ordne den Graphen der Funktionen f(x) den richtigen Ableitungsgraphen zu. |
Aufgabe 2: Lückentext
| Aufgabe 2 (Förderaufgabe)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f(x). Welche Annahmen kannst du über f'(x) treffen? Vervollständige die Sätze. |
Aufgabe 3: Wer wird Millionär?
| Aufgabe 3 (Förder- & Forderaufgabe)
Finde die richtige Antwort. |
Aufgabe 4: Skizzieren
| Aufgabe 4 (Forderaufgabe)
Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion f'(x). Skizziere die dazugehörige Funktion f(x) in deinem Heft und erkläre dein Vorgehen. |
Aufgabe 5: Sonnenstunden
| Aufgabe 5 (Forderaufgabe)
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Die Funktion f(x) beschreibt die Sonnenstunden eines Monats im vergangenen Jahr, dabei stehen die x-Werte für die einzelnen Monate (1=Jan, ..., 12=Dez) und die Funktionswerte für die Gesamtsumme der Sonnenstunden im Monat. Die Funktion nimmt die folgenden Werte an:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| f(X) | 77 | 57 | 148 | 138 | 201 | 194 | 188 | 168 | 116 | 90 | 25 | 13 |
- Skizziere die Funktion und ihre Ableitung in dein Heft.
- Die Daten sollen durch ein Programm verarbeitet werden. Dazu wird eine Funktionsgleichung benötigt. Welchen Grad muss diese Funktion haben?
- Welchen Grad hat die Ableitung?
- Wann ändert sich die Anzahl der Sonnenstunden am stärksten? Begründe mit Hilfe der Ableitung.
