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Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate: Unterschied zwischen den Versionen

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Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.
 
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Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= '''25,83 Mitglieder pro Jahr'''. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= '''26,5 Mitglieder pro Jahr'''. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor.
 
Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= '''25,83 Mitglieder pro Jahr'''. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= '''26,5 Mitglieder pro Jahr'''. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor.
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Version vom 24. Oktober 2018, 18:23 Uhr

Inhaltsverzeichnis


Dieser Lernpfad beschäftigt sich mit der durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate.

In Aufgabe 1 geht es darum, die durchschnittliche Änderungsrate zu berechnen. Dies erfolgt in Teilaufgabe a) anhand von Rechenbeispielen, in b) hingegen übst du durchschnittliche Änderungsraten im Sachzusammenhang zu berechnen. Dies ist eine Förderaufgabe. Wenn du schon sicher bist im Umgang mit durchschnittlichen Änderungsraten, kannst du diese Aufgabe auch überspringen.

Bei Aufgabe 2 beschäftigst du dich mit der Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate. In Teilaufgaben a) und b) geht es darum, festzustellen, wie sich die beiden Änderungsraten unterscheiden. In Teilaufgabe c) musst du im Sachzusammenhang unterscheiden, welche der beiden Änderungsraten berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist eine Förderaufgabe.

Den Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate erarbeitest du in Aufgabe 3. Teilaufgabe a) ist eine Förderaufgabe. In Teilaufgabe b) geht es um die graphischen Zusammenhänge. Dies ist eine Forderaufgabe.


Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 1


a) Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

1. f(x)=4x+2 im Intervall [2,5]

2. f(x)=x^2 im Intervall [2,7]

3. f(x)=x^3-2 im Intervall [-2,1]



b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Diwerspng.PNG




Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs von Beginn der Mitgliedererfassung bis zur Wahl des neuen Vorstands 2016. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

(Ja, es ist Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen.) (!Nein, sie haben ihr Ziel nicht erreicht.) (!Sowohl vor der Wahl als auch nach der Wahl des neuen Vorstands sind im Durchschnitt pro Jahr genau gleich viele Mitglieder dem Verein beigetreten.)



Unterscheidung der Änderungsraten

Stift.gif   Aufgabe 2:

a) Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate

Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.


b) Vertiefen der Ergebnisse aus 2a)

Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.


c) Änderungsraten im Sachzusammenhang

Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: 

        s(t)=10t-t^2    für  t\in [0;5]

(i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden.

(ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim nach 3 Sekunden bzw. nach 5 Sekunden mit seinem Fahrrad erreicht hat.

(iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für t=6 keinen Sinn?


Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate

Stift.gif   Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate 
f(x) = -0,5(x-1)^2+3

a) Diese Funktion ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

In der folgenden Tabelle siehst du einige Funktionswerte aufgelistet. Außerdem wurden die Differenzenquotienten vom Punkt (2 ; 2,5) mit Punkten in der Umgebung ausgerechnet.

Tabelle zu Funktionswerten und Differenzenquotient









1) Beschreibe, was mit dem Differenzenquotient passiert, wenn sich die x-Werte 2 annähern.

2) Erkläre, warum in der letzten Zeile unter "Differenzenquotient" ein "?" eingetragen ist.

3) Was bedeutet das Ergebnis aus 1) für die durchschnittliche Änderungsrate und was bedeutet es für die momentane Änderungsrate im Punkt (2 ; 2,5)? Wie hängen diese beiden Begriffe miteinander zusammen? Beantworte diese Fragen selbst oder löse dazu den Lückentext.

b) (Forder-Aufgabe) Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert.

1) Was gibt die Variable ks an?

2) Fülle nun den folgenden Lückentext aus.

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