Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Von der mittleren zur lokalen Änderungsrate

Infokästchen, dessen Text noch eingefügt werden muss

Aufgabe 1 Bestimmung von durchschnittlichen Änderungsraten

1a Berechne die durchschnittliche Änderungsrate in den angegebenen Intervallen.

$1. f(x)=4x+2$ im Intervall $[2,5]$

$2. f(x)=x^2$ im Intervall $[2,7]$

$3. f(x)=x^3-2$ im Intervall $[-2,1]$

Tipp 1 anzeigen

Tipp 1 verstecken

Die durchschnittliche Änderungsrate in einem Intervall [x₀, x₁] berechnet man so:

$\frac {f(x_1)-f(x_0)} {x_1-x_0}$.

Tipp 2 (zu 3.) anzeigen

Tipp 2 (zu 3.) verstecken
Achte auf die Vorzeichen!

Lösung anzeigen

Lösung verstecken
1. 4

2. 9

3. 3

1b) Dein Sportverein feiert dieses Jahr seinen 25. Geburtstag. Zu diesem Anlass wird eine Tabelle mit den Mitgliederzahlen der letzten Jahre veröffentlicht (leider gab es vor dem Jahr 2010 keine Statistik über die Anzahl der Mitglieder):

Jahr	2010	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018
Anzahl der Mitglieder zu Beginn des Jahres	210	297	336	351	371	342	365	387	418

Leider hat der Vorstand in seiner eigenen Schulzeit in Mathe nicht sehr gut aufgepasst und bittet dich, ihm bei der Beantwortung einiger Fragen zu helfen.

1. Wie viele Mitglieder sind seit 2010 im Durchschnitt pro Jahr in deinem Verein hinzugekommen?

(!30) (!2,4) (!24) (!29,71) (26)

2. Der aktuelle Vorstand arbeitet seit Anfang 2016 zusammen. Sein Ziel war eine Steigerung der Mitgliedszahlen. Diese sollten im Mittel größer sein als der durchschnittliche Mitgliederzuwachs in den Jahren zuvor. Ist es Ihnen gelungen ihr Ziel zu erreichen?

Lösung anzeigen

Lösung verstecken

Ja, ihnen ist es knapp gelungen ihr Ziel zu erreichen, denn in den sechs Jahren zuvor (2016-2010=6) sind insgesamt 365-210=155 Mitglieder hinzugekommen, d.h. im Durchschnitt stieg die Mitgliederzahl um 155/6= 25,83 Mitglieder pro Jahr. In den letzten zwei Jahren (2018-2016=2) kamen noch insgesamt 418-365= 53 Mitglieder hinzu, d.h die Mitgliederzahl wuchs im Durchschnitt um 53/2= 26,5 Mitglieder pro Jahr. Die durchschnittliche Änderung der Mitgliedszahlen war in den letzten zwei Jahren also höher als in den Jahren davor.

Aufgabe 2: Unterscheidung der Änderungsraten

Aufgabe 2a: Unterscheidung der mittleren und momentanen Änderungsrate Ordne die verschiedenen Begriffe der richtigen Änderungsrate zu.

Hinweis Differenzenquotient anzeigen

Hinweis Differenzenquotient verstecken
Die Formel $\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$ stellt den Differenzenquotienten dar. Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate von f über dem Intervall [$x_1$;$x_2$] an.

Geometrisch gedeutet ist dieser Quotient die Steigung der Sekanten durch zwei Punkte.

Hinweis Differenzialquotient anzeigen

Hinweis Differenzialquotient verstecken
Die Formel $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$ heißt Differentialquotient. Dieser Quotient ist anschaulich der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt $Q(x_0+h|f(x_0+h))$ auf den Punkt P $P(x_0|f(x_0))$ zu bewegt. Also ist es die Steigung der Tangente in P und entspricht der Ableitung in $x_0$.

Aufgabe 2b: Vertiefen der Ergebnisse aus 2a Fertige in deinem Heft eine Tabelle zur durchschnittlichen und momentanen Änderungsrate mit den Begriffen aus Teilaufgabe a an. Stelle die zueinander passenden Begriffe gegenüber.

Lösung anzeigen

Lösung verstecken

mittlere Änderungsrate	momentane Änderungsrate
Sekante	Tangente
$\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}$	$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)} {h}$
die Steigung zwischen zwei Punkten	die Steigung im Punkt P
die durchschnittliche Steigung	die Ableitung an der Stelle x0
die Durchschnittsgeschwindigkeit	die Momentangeschwindigkeit

Aufgabe 2c: Änderungsraten im Sachzusammenhang Tim fährt mit dem Fahrrad zur Schule und muss an einer roten Ampel abbremsen. Für den in der Zeit t (in Sekunden) zurückgelegten Weg s(t) (in Meter) gilt: $s(t)=10t-t^2$ für $t\in [0;5]$ (i) Berechne den zurückgelegten Weg nach 3 und 5 Sekunden. (ii) Berechne die Geschwindigkeit, die Tim in der Sekunde 3 bzw. in Sekunde 5 mit seinem Fahrrad fährt. (iii) Warum hat die oben genannte Formel im vorliegenden Sachzusammenhang für $t=6$ keinen Sinn?

Hinweis zu (ii) anzeigen

Hinweis zu (ii) verstecken
Gesucht wird die momentane Geschwindigkeit

Lösung (i) anzeigen

Lösung (i) verstecken
Nach 3 Sekunden hat Tim einen Weg von 21 Metern zurückgelegt und nach 5 Sekunden 25 Meter.

Lösung (ii) anzeigen

Lösung (ii) verstecken
Die momentane Änderungsrate s'(t) entspricht der Geschwindigkeit. s'(3)=4 und s'(5)=0.

Lösung (iii) anzeigen

Lösung (iii) verstecken
Die angegebene Formel kann nicht für t=6 gelten, da Tim bei t=5 schon abgebremst hat.

Aufgabe 3: Zusammenhang von durchschnittlicher und momentaner Änderungsrate a) b)Sieh dir zunächst die Formeln und die Abbildung in der Darstellung an. Durch Verschieben des Δx-Knopfs verändern sich die Werte in den Formeln und die Abbildung. Probier einmal aus, was sich verändert. Fülle dann den folgenden Lückentext aus.