Achtung:

Dieses Wiki, das alte(!) Projektwiki (projektwiki.zum.de)
wird demnächst gelöscht.

Bitte sichere Deine Inhalte zeitnah,
wenn Du sie weiter verwenden möchtest.

Gerne kannst Du natürlich weiterarbeiten

im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).

Berechnung von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert: Unterschied zwischen den Versionen

Aus Projektwiki - ein Wiki mit Schülern für Schüler.
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
Zeile 4: Zeile 4:
 
<big><span style="color:#C00000">&nbsp;
 
<big><span style="color:#C00000">&nbsp;
  
−
<span style="color:#FFC125">&nbsp;<span style="font-size:30pt;">Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert</span>
+
<span style="color:#FFC125">&nbsp;<span style="font-size:25pt;">Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert</span>
−
<br />
+
−
<br />
+
 
<br />
 
<br />
 
<br />
 
<br />
 +
  
 
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
 
In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.
Zeile 14: Zeile 13:
 
→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
 
→  Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?<br />
 
→  Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
 
→  Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?  
−
<br />
+
<br /><br />
−
Nun stellt sich die Frage, wie man solche Aufgaben lösen kann.
+
Und wie kann man solche Aufgaben lösen?
 
<br /><br />
 
<br /><br />
  
−
Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst, erkläre ich dir jetzt.<br />
+
Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst erkläre ich dir jetzt.<br />
 
<br />
 
<br />
  
 
Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
 
Zunächst musst du dir die folgende '''Grundgleichung der Prozentrechnung''' gut einprägen:
−
<br />
 
−
 
  
−
  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
+
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
 +
In Worten:
 +
Der  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> vom <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> ist der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>.
 
   
 
   
 
<br />
 
<br />
Zeile 35: Zeile 34:
 
<br />
 
<br />
  
−
Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist ein Teil des Grundwertes, ausgedrückt in Prozent.  
+
Der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> ist immer ein Anteil, ausgedrückt in '''Prozent'''.  
 
<br />
 
<br />
  
Zeile 49: Zeile 48:
  
  
−
<span style="color: #76EE00">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #FF4040">'''30%'''</span>
+
<span style="color: #FF4040">'''6'''</span> von <span style="color: #00B2EE">'''20 Schüern'''</span>, sind ( <math>\frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) </math> <span style="color: #76EE00">'''30%'''</span>
  
 
<br /><br />
 
<br /><br />
  
−
→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>
+
→ Also sind in diesem Fall die <span style="color: #FF4040">6</span> Schüler der <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span>,
 
<br />
 
<br />
  
−
→ die 20 Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
+
→ die <span style="color: #00B2EE">20</span> Schüler der <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>,
 
<br />
 
<br />
  
−
→ und die 30% der <span style="color:#76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
+
→ und die <span style="color: #76EE00">30%</span> der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>.
 
<br />
 
<br />
 +
<br />
 +
 +
In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:<br />
 +
<span style="color: #76EE00">'''0,3'''</span> • <span style="color: #00B2EE">'''20'''</span> = <span style="color: #FF4040">'''6'''</span>
 
<br /><br />
 
<br /><br />
 +
<br />
  
−
Übe hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
+
Teste hier, ob du die Begriffe verstanden hast!
 
<br /><br />
 
<br /><br />
  
Zeile 74: Zeile 78:
 
Das Ganze, heißt '''Grundwert'''. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.<br />
 
Das Ganze, heißt '''Grundwert'''. Er ist der Wert, von dem man ausgeht.<br />
 
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt '''Prozentsatz'''. <br />
 
Die Zahl, die in Prozent angegeben ist, heißt '''Prozentsatz'''. <br />
−
Wenn man ihn mit dem Grundwert '''multipliziert''', erhält man den '''Prozentwert''', der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.
+
Wenn man ihn mit dem Grundwert '''multipliziert''' erhält man den '''Prozentwert''', der dann einen Teil des Ganzen, des Grundwertes, darstellt.
  
 
</div>
 
</div>
−
 
  
 
</popup>
 
</popup>
Zeile 85: Zeile 88:
  
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pjxkz4izc18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
−
-> Vollbild!
+
 
 
</popup>
 
</popup>
 
</div>
 
</div>
 
<br />
 
<br />
  
−
Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man die Gleichung:  
+
 
 +
Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>, verwendet man diese Gleichung:  
 
<br />
 
<br />
 
  <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
 
  <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
 
<br />
 
<br />
−
Und wenn der Prozentwert gesucht ist, brauchst du zur Berechnung die Gleichung:
+
Und wenn der <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> gesucht ist, brauchst du zur Berechnung diese Gleichung:
 
<br />
 
<br />
 
  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
 
  <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
Zeile 102: Zeile 106:
 
<br />
 
<br />
  
−
[[Datei:Herleitung 1.png|thumb|300px|Berechnung des Grundwertes]]
+
[[Datei:Dreisatz.png|300px|thumb|align:right|Dreisatz]]
 
<span style="color: #00B2EE">'''Herleitung Grundwert:'''</span> <br />
 
<span style="color: #00B2EE">'''Herleitung Grundwert:'''</span> <br />
−
Für einen Urlaub müssen 20% angezahlt werden, das sind 160€. Wie teuer ist der gesamte Urlaub?<br>
+
Für einen Urlaub müssen 20% des Preises, das sind 160€, angezahlt werden. <br />
−
Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend wieder mit 100 multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen (das sind 20%).
+
Wie teuer ist der Urlaub insgesamt?
 
<br />
 
<br />
−
Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich hierbei um den Prozentsatz handelt.  
+
 
 +
Sicherlich ist dir aufgefallen, dass es sich bei den "20% des Preises" um den Prozentsatz handelt.
 
<br />
 
<br />
−
Folglich muss der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, damit man den Grundwert erhält.
+
Folglich muss also der Prozentwert durch den Prozentsatz geteilt werden, um den Grundwert zu erhalten.
 +
<br />
 +
 
 +
Da man die 160€ durch 20 teilt und anschließend mit 100 wieder multipliziert, könnte man genauso durch 0,2 teilen. (20% = 0,2)
 +
<br />
 +
 
 
<br />
 
<br />
 
Daraus ergibt sich dann die Gleichung: <br /><br />
 
Daraus ergibt sich dann die Gleichung: <br /><br />
  
 
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
 
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span>
−
<br /><br /><br />
+
<br />
 +
<span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span> = <span style="color:#FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #76EE00">'''0,2'''</span> = 160€ ÷ <math>\frac{2}{10}</math> = 160€ &middot; <math>\frac{10}{2}</math> = 160€ &middot; 5 = <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span>
 +
<br /><br />
  
  
−
[[Datei:Herleitung 2.png|thumb|300px|Berechnung des Prozentsatzes]]
+
[[Datei:Bildschirmfoto 2018-03-31 um 22.01.28.png|300px|thumb|]]
 
<span style="color: #76EE00">'''Herleitung Prozentsatz:'''</span> <br />
 
<span style="color: #76EE00">'''Herleitung Prozentsatz:'''</span> <br />
−
Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 20% angezahlt werden müssen. Wie viel Geld muss also gleich überwiesen werden? <br>
+
Der Familienurlaub kostet 800€, wobei 160€ direkt angezahlt werden müssen. <br />
−
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:<br>
+
Wie viel Prozent des Urlaubsgeldes muss also gleich überwiesen werden?
−
Man teilt zunächst durch 100, um auf 1% zu kommen.<br>
+
 
−
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da 8€ ja nicht dem Prozentwert entsprechen, sondern 160€.
+
Die Gleichung für den Prozentsatz leitet sich ähnlich her:
 +
<br />
 +
Man teilt den Grundwert, der ja das Ganze, also 100% repräsentiert, durch 100, um auf 1% zu kommen.<br />
 +
Anschließend wird wieder mit 20 multipliziert, da man von 8€ auf den Prozentwert 160€ kommen will.
 
<br />
 
<br />
  
Zeile 128: Zeile 143:
 
<br />
 
<br />
  
−
Folglich lautet die Gleichung zum Ausrechnen des Prozentsatzes:
+
Folglich lautet die Gleichung zur Berechnung des Prozentsatzes:
 
<br /><br />
 
<br /><br />
  
−
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span>
+
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''Prozentwert'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''Grundwert'''</span><br />
 +
<span style="color: #76EE00">'''Prozentsatz'''</span> =  <span style="color: #FF4040">'''160€'''</span> ÷ <span style="color: #00B2EE">'''800€'''</span> = <math>\frac{160}{800} </math> = <math>\frac{2}{10} </math> = <span style="color: #76EE00">'''20%'''</span>
 
<br />
 
<br />
  
Zeile 138: Zeile 154:
 
<br />
 
<br />
  
−
Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei!
+
Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !
 
<br />
 
<br />
  
Zeile 149: Zeile 165:
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvo0sfn9518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pvo0sfn9518" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<br />
 
<br />
−
-> Vollbild!
 
 
</popup>
 
</popup>
 
<br />
 
<br />
Zeile 157: Zeile 172:
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pam9rza8318" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pam9rza8318" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<br />
 
<br />
−
-> Vollbild!
 
 
</popup>
 
</popup>
 
<br />
 
<br />
Zeile 164: Zeile 178:
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6x7i8yxn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6x7i8yxn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<br />
 
<br />
−
-> Vollbild!
+
 
 
</popup>
 
</popup>
  
Zeile 172: Zeile 186:
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po15gtre218" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=po15gtre218" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<br />
 
<br />
−
-> Vollbild!
+
 
 
</popup>
 
</popup>
  
Zeile 180: Zeile 194:
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwynjbxjn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pwynjbxjn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
<br />
 
<br />
−
-> Vollbild!
 
−
</popup>
 
  
−
<br />
 
−
 
−
<popup Name= 6.Aufgabe>
 
−
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pfrcqi6vj18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 
−
<br />
 
−
-> Vollbild!
 
 
</popup>
 
</popup>
  
Zeile 198: Zeile 204:
 
{{Vorlage:Lesepfad Ende
 
{{Vorlage:Lesepfad Ende
 
|Link zurück=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechenvorteile|zu den Rechenvorteilen]]                   
 
|Link zurück=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Rechenvorteile|zu den Rechenvorteilen]]                   
−
|Link vor=[[Julius-Echter-Gymnasium/P-Seminar 2017-2019|zum P-Seminar vom JEG]]
+
|Link vor=[[Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik|zurück zum Inhaltsverzeichnis]]
 
|Text Copyright=
 
|Text Copyright=
 
}}
 
}}

Aktuelle Version vom 29. Januar 2020, 10:02 Uhr

 

 Berechnen von Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert


In deinem Leben begegnen dir täglich viele Werte und Zahlen, manche von ihnen auch in Form von Prozenten.

→ Aber was bedeutet das, wenn gefragt ist, wie viel 15% von 100 ergeben?
→ Oder wie viel Prozent 25 von 50 sind?

Und wie kann man solche Aufgaben lösen?

Wie genau du nun Grundwert, Prozentsatz und Prozentwert berechnen kannst erkläre ich dir jetzt.

Zunächst musst du dir die folgende Grundgleichung der Prozentrechnung gut einprägen: 

Prozentsatz • Grundwert = Prozentwert
In Worten:
Der  Prozentsatz vom Grundwert ist der Prozentwert.


Begriffserklärung:

Der Grundwert ist der Ausgangswert.

Der Prozentsatz ist immer ein Anteil, ausgedrückt in Prozent.

Der Prozentwert ist das Ergebnis aus der Multiplikation von Grundwert und Prozentsatz, ausgedrückt in einem Zahlenwert.

Damit dir das Thema zugänglicher wird, erkläre ich die Begriffe noch einmal an einem Beispiel.

Im Jahrgangsstufentest für Mathematik der 5. Klasse bekamen 6 der 20 Schüler die Note 1:


6 von 20 Schüern, sind ( \frac{6}{20} = \frac{30}{100}= ) 30%



→ Also sind in diesem Fall die 6 Schüler der Prozentwert,

→ die 20 Schüler der Grundwert,

→ und die 30% der Prozentsatz.

In der Grundgleichung würde die Rechnung so aussehen:
0,3 • 20 = 6


Teste hier, ob du die Begriffe verstanden hast!




Wenn in der Aufgabe aber nicht nach dem Prozentwert gefragt ist, sondern nach dem Grundwert, verwendet man diese Gleichung: 

Grundwert = Prozentwert ÷ Prozentsatz


Und wenn der Prozentsatz gesucht ist, brauchst du zur Berechnung diese Gleichung: 

Prozentsatz =  Prozentwert ÷ Grundwert



Jetzt bist du bereit, dich an ein paar Anwendungsaufgaben zu versuchen. Viel Spaß dabei !




zu den Rechenvorteilen zurück zum Inhaltsverzeichnis

Von „https://projektwiki.zum.de/index.php?title=Julius-Echter-Gymnasium/Mathematik/Berechnung_von_Grundwert,_Prozentsatz_und_Prozentwert&oldid=81828“