Lineare Funktionen

In diesem Lernpfad kannst du dein Wissen über lineare Funktionen vertiefen und dieses anwenden. In Aufgabe 1-5 wiederholst du dabei noch einmal, wie lineare Funktionsgleichungen aufgestellt werden und wie man einen Graphen skizziert. Außerdem kannst du dich in Aufgabe 3 noch einmal mit Wertetabellen zu linearen Zuordnungen beschäftigen. Die Aufgaben 6 und 7 bieten dir die Möglichkeit, das Gelernte im Sachkontext anzuwenden.

Lineare Funktionen im Überblick

Aufgabe 1 Fülle folgenden Lückentext aus, indem du auf die leeren Felder klickst und die richtige Antwort auswählst Tipp anzeigen Tipp verstecken Bitte benutze Kopfhöhrer. Lösung anzeigen Lösung verstecken Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x-Wert jeweils nur einen y-Wert zuordnet. Der y-Wert wird Funktionswert an der Stelle x genannt. Lineare Funktionen haben Funktionsgleichungen der Form y=mx+n, wobei m die Steigung und n den y-Achsenabschnitt angibt. Sind zwei Punkte angegeben, kann man den Differenzenquotienten nutzen, um die Steigung zu bestimmen. Das n berechnet man anschließend durch Einsetzen eines Punktes. Bei Graphen von linearen Funktionen kann nicht nur der y-Achsenabschnitt bestimmt werden, sondern auch der Schnittpunkt mit der x-Achse. Diesen nennen wir Nullstelle. Den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen erhält man durch Gleichsetzen der Funktionsgleichungen.

Vom Graphen zur Funktionsgleichung

Aufgabe 2 Ordne den folgenden Graphen die entsprechenden Funktionsgleichungen zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander legst. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Lies am Graphen die Steigung und den y-Achsenabschnitt ab. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken f(x)=mx+n m gibt die Steigung der Funktion an. Diese kannst du mithilfe des Steigungsdreiecks bestimmen. n gibt den Schnittpunkt mit der y-Achse an.

Wertetabellen und lineare Funktionen

Aufgabe 3 Bestimme anhand der Tabellen die zugehörigen Funktionsgleichungen und tippe sie in die grauen Felder ein. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Lies den y-Achsenabschnitt n an der Stelle x=0 ab. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Die Steigung m gibt an, wie weit sich die Funktion in y-Richtung verändert, wenn der x-Wert um eine Einheit steigt. Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Alternativ kannst du auch die gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem eintragen. Lösung anzeigen Lösung verstecken f(x)= 2x+1 g(x)=1,5x+2,5 Den y-Achsenabschnitt kannst du in der Tabelle bei x=0 ablesen. Bei f(x) ist dies das Wertepaar (0/1), weshalb n=1 ist. Die Steigung kannst du ablesen, indem du beispielsweise die Differenz der y-Werte der Punkte (0/1) und (1/3) bestimmst. Man sieht schnell, dass der y-Wert immer um 2 nach oben geht, wenn x um eine Einheit steigt. Bei g(x) musst du den y-Achsenabschnitt berechnen. Man sieht leicht, dass sich der y-Wert immer um 1,5 erhöht, wenn x um eine Einheit steigt. Deshalb kann man vom Wertepaar (1/4) ausgehend den y-Achsenabschnitt berechnen, indem man 4-1,5 rechnet. Alternativ kannst du die Aufgabe auch grafisch lösen, indem du beispielsweise bei f(x) die Punkte (-1/-1), (0/1) und (1/3) in ein Koordinatensystem einträgst, zu einer Geraden verbindest und das Steigungsdreieck einzeichnest.

Schnittpunkt zweier Geraden

Aufgabe 4 Bestimme die Schnittpunkte von zwei Geraden zuerst zeichnerisch und dann rechnerisch in deinem Heft. a) $f(x)=-0,5x+2,5$ und $g(x)=4x-11$ b) $f(x)=0,5x$ und $g(x)=x-1,5$ Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Für den rechnerischen Weg: Gesucht ist ein Punkt (x/y), der gleichzeitig beide Funktionsvorschriften erfüllt. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Um diesen Punkt zu finden, kann man zum Beispiel beide Funktionsvorschriften gleichsetzen. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) $-0,5x+2,5=4x-11$ Rechne beidseits +11 und +0,5x. $13,5=4,5x$ Teilen durch 4,5 liefert $3=x$ Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in g(x) liefert: $y=4*3-11=1$ Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1). Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1) ablesen: b) $0,5x=x-1,5$ Rechne beidseits -x. $-0,5x=-1,5$ Teilen durch -0,5 liefert $3=x$ Um die y-Koordinate des Schnittpunkts zu erhalten, setze x=3 in eine der Funktionsgleichungen ein. Einsetzen in f(x) liefert: $y=0,5*3=1,5$ Die Geraden f und g schneiden sich somit im Punkt S(3/1,5). Wenn wir beide Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen, können wir auch den Schnittpunkt an der Stelle (3/1,5) ablesen:

Funktionsgleichung aufstellen anhand zweier vorgegebener Punkte

Aufgabe 5 Betrachte die drei Geraden f,g und h, die jeweils durch die angegebenen Punkte verlaufen. 1) Gerade f verläuft durch $P(-2|1)$ und $Q(3|6)$. 2) Gerade g durch $P(3|-4)$ und $Q(5|-1)$. 3) Gerade h durch $P(2|12)$ und $Q(0|2)$. Notiere die Rechnungen und Antworten der folgenden Aufgaben in deinem Heft: a) Bestimme rechnerisch die Funktionsgleichungen der linearen Funktionen. b) Berechne jeweils die Nullstellen dieser Funktionen. c) Bestimme, für welchen x-Wert die Funktionen jeweils den Wert 12 annehmen. d) Warum ist eine lineare Funktion durch zwei gegebene Punkte eindeutig bestimmt? Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Nutze den Differenzenquotienten um die Steigung zu berechnen. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Differenzenquotient: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ Tipp 3 anzeigen Tipp 3 verstecken Um n zu berechnen, setze einen Punkt in die Funktionsgleichung ein. Tipp 4 anzeigen Tipp 4 verstecken Für die Nullstelle überlege dir, welche y-Koordinate Nullstellen haben. Tipp 5 anzeigen Tipp 5 verstecken Für die Nullstelle setze die Funktionsgleichung gleich 0. Tipp 6 anzeigen Tipp 6 verstecken Bei Teilaufgabe c) soll y=12 sein. Lösung anzeigen Lösung verstecken 1) $f(x)=x+3$ Nullstelle: $x=-3$ an der Stelle $x=9$ 2) $f(x)=\frac{3}{2}x-8,5$ Nullstelle: $x=5\frac{2}{3}$ an der Stelle $x=13\frac{2}{3}$ 3) $f(x)=5x+2$ Nullstelle: $x=-0,4$ an der Stelle $x=2$ Ausführliche Lösung: a) 1) Steigung: $m=\frac{6-1}{3-(-2)}=\frac{5}{5}=1$ Für n setzen wir den Punkt Q in $f(x)= 1*x + n$ ein und erhalten: $6=3+n$ und somit ist $n=3$. --> f(x)= x+3 2) Steigung: $m=\frac{-1-(-4)}{5-3}=\frac{3}{2}$ n berechnen: Einsetzen von P in $g(x)= \frac{3}{2}*x + n$ führt zu $-4=\frac{3}{2}*3+n$ $-4=4,5+n$ $-9,5=n$ --> g(x)=1,5x-9,5 3) Steigung: $m= \frac{12-2}{2-0}=\frac{10}{2}=5$ n berechnen: Einsetzen von Q in $h(x)= 5*x + n$ führt zu $2=5*0+n$ $2=n$ --> h(x)=5x+2 b) 1) $f(x)=0$ $x+3=0$ $x=-3$ 2) $g(x)=0$ $1,5x-9,5=0$ $1,5x=9,5$ $x=5\frac{2}{3}$ 3) $h(x)=0$ $5x+2=0$ $5x=-2$ $x=-0,4$ c) 1)$f(x)=12$ $x+3=12$ $x=9$ 2)$g(x)=12$ $1,5x-9,5=12$ $1,5x=21,5$ $x=13\frac{2}{3}$ 3) $h(x)=12$ $5x+2=12$ $5x=10$ $x=2$ d) Weil sie überall die gleiche Steigung hat, welche wir mit dem Differenzenquotienten bestimmt haben.

Textaufgaben

Aufgabe 6 Eine 15cm lange Kerze A braucht 10 Stunden, um vollständig abzubrennen. Eine weitere und dünnere Kerze B ist 20cm lang und brennt in nur 8 Stunden vollständig ab. a) Stelle für jede Kerze eine Funktionsgleichung auf, mit der man die Kerzenhöhe nach x Stunden berechnen kann und zeichne einen Graphen. Tipp anzeigen Tipp verstecken Leite aus dem Text zwei Punkte her, mit denen du die Funktionsgleichung aufstellen kannst. b)Welche Höhe haben die Kerzen nach 3 Stunden? Tipp anzeigen Tipp verstecken Setze in beiden Gleichungen den Gesuchten x-Wert ein. c) Die Kerzen werden gleichzeitig angezündet. Nach wie vielen Stunden sind die Kerzen gleich hoch? Löse die Aufgabe zeichnerisch, rechnerisch und mittels Wertetabelle. Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Rechnerisch: Setze die beiden Funktionen gleich. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Wertetabelle: Erstelle zwei Wertetabellen und lies den x-Wert ab, an dem die beiden Kerzen den gleichen y-Wert (Kerzenhöhe) haben. d) Vergleiche die drei Methoden, aus dem Aufgabenteil c) und überlege dir, welche Vor- und Nachteile diese Methoden haben. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) Kerze A: $f(x)=-1,5x+15$ Kerze B: $g(x)=-2,5x+20$ Möglicher Lösungsweg zum Aufstellen der Gleichung am Beispiel Kerze A (Für Kerze B erfolgt der Rechenweg analog.) Wir entnehmen dem Text, dass die Kerze am Anfang 15 cm hoch ist. Daraus können wir folgern, dass zum Zeitpunkt x=0 der Funktionswert bei 15 liegen muss. Dadurch erhalten wir auch den Schnittpunkt mit der y-Achse und somit unser n. Weiterhin wissen wir, das die Kerze Nach 10 Stunden komplett abgebrannt ist. Daraus folgern wir, dass bei x=10 der Funktionswert 0 ist. Mit den beiden Punkten (0/15) und (10/0) können wir eine Gerade in dem Koordinatensystem zeichnen und können dann so die Steigung ablesen. Alternativ berechnen wir mit den beiden Werten das Steigungsdreieck und damit die Steigung. b) Kerze A: f(3)= -1,5*3+15=10,5cm ; Kerze B: g(3)=-2,5*3+20=12,5cm c) $f(x)=g(x)$ $-1,5x+15=-2,5x+20$ $x=5$ Nach 5 Stunden sind sie gleich lang. d) Zeichnerische Lösung Vorteile: Durch die Linearität braucht man von beiden Kerzen nur jeweils zwei Punkte einzeichnen und kann diese mit dem Lineal weiterziehen, auf diese Weise sieht man schnell den Schnittpunkt der beiden Linien. Nachteile: Wenn man ungenau zeichnet kann bekommt man eine Falsche Lösung. Wenn der Maßstab ungeschickt gewählt wurde, kann man die Lösung nicht genau ablesen. Rechnerische Lösung Vorteile: Man bekommt eine exakte Lösung</br> Man berechnet keine "unwichtigen" Werte. Nachteile: Wenn man unsicher beim Umstellen von Gleichungen ist, ist diese Variante auch sehr fehleranfällig. Im Gegensatz zur zeichnerischen Lösung ist die rechnerische nicht ganz so "ansehnlich". Wertetabelle Vorteile: Nicht so sehr fehleranfällig wie die anderen beiden Lösungswege. Nachteile: Wenn man Pech hat, berechnet man viele Werte, die man nicht braucht, bevor man die richtige Lösung findet. Falls man bei den x-Werten zu große Schritte wählt, kann es passieren, dass man die richtige Lösung überspringt und somit keine Lösung findet.

Aufgabe 7 Aus einer zylinderförmigen Regentonne wird das Wasser gleichmäßig abgelassen. Nach 6 Minuten beträgt die Wasserhöhe noch 75cm, nach weiteren 15 Minuten sind es noch 55cm a) Warum handelt es sich hierbei um eine lineare Funktion? b) Stelle die Funktionsgleichung für die Wasserhöhe auf und fertige eine Skizze des Funktionsgraphen an. Tipp anzeigen Tipp verstecken Leite aus dem Text zwei Punkte her und stelle die Funktionsgleichung auf c) Bestimme den Zeitpunkt, in dem das Wasser vollständig abgelaufen ist. Tipp anzeigen Tipp verstecken Setze die Funktionsgleichung gleich null. d) Zu welchem Zeitpunkt beträgt die Wasserhöhe 51cm? Tipp 1 anzeigen Tipp 1 verstecken Überlege dir, ob die Wasserhöhe ein x-Wert oder ein y-Wert ist. Tipp 2 anzeigen Tipp 2 verstecken Setze die Funktionsgleichung gleich 51 und löse nach x auf. e) Schau dir die Aufgabenteile c) und d) nochmal genauer an. Kannst du dein Vorgehen begründen? Lösung anzeigen Lösung verstecken a) Der Satzbaustein "gleichmäßig abgelassen" signalisiert uns, dass es linear ist (Zu jedem Zeitpunkt verlieren wir die gleiche Menge an Wasser, die "Steigung" ist also überall gleich. b) $f(x)=-\frac{4}{3}x+83$ c) Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b gleich 0. $-\frac{4}{3}x+83=0$ Anschließend Stellen wir die Funktion nach X um. $x=62,25$ Nach 62 Minuten und 15 Sekunden ist das Wasser vollständig abgelaufen. d) Wir setzen die Funktionsgleichung aus Aufgabenteil b) gleich 51. $-\frac{4}{3}x+83=51$ Anschließend stellen wir die Funktion nach x um. $x=24$ Nach 24 Minuten ist ein Wasserstand von 51 cm erreicht.