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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Grenzwerte im Unendlichen: Unterschied zwischen den Versionen
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*Fülle die '''Wertetabelle''' vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst und "Enter" drückst.<br /> | *Fülle die '''Wertetabelle''' vollständig aus, indem du die Funktionswerte in das jeweilige Feld eingibst und "Enter" drückst.<br /> | ||
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| − | Der Graph der Funktion f: x -> <math>\frac{4x-3}{x}</math> scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade y = 4 anzunähern.<br /> | + | Der Graph der Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">f</span>''': x -> <math>\frac{4x-3}{x}</math> scheint sich für immer größer werdende x- Werte der Gerade '''<span style="color: #EE7600 ">y = 4</span>''' anzunähern.<br /> |
| − | Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert 4 an.<br /> | + | Für immer kleiner werdende x- Werte nähern sich die Funktionswerte scheinbar ebenfalls dem Wert '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an.<br /> |
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Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:<br /> | Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:<br /> | ||
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| − | f (x) = <math>\frac{4x-3}{x}</math> = <math>\frac{4x}{x}</math> - <math>\frac{3}{x}</math> = 4 - <math>\frac{3}{x}</math><br /> | + | '''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' = <math>\frac{4x-3}{x}</math> = <math>\frac{4x}{x}</math> - <math>\frac{3}{x}</math> = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - <math>\frac{3}{x}</math><br /> |
| − | Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.<br /> | + | Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch <math>\frac{3}{x}</math> immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' unverändert bleibt.<br /> |
| − | Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an. | + | Also nähert sich '''<span style="color: #3A5FCD ">f (x)</span>''' für immer größer werdende x- Werte immer mehr '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' - 0 = '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' an. |
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Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - <math>\infty</math> untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.<br /> | Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - <math>\infty</math> untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.<br /> | ||
| − | Damit heißt 4 der '''Grenzwert''' der Funktion f für x gegen + <math>\infty</math> und gegen - <math>\infty</math>.<br /> | + | Damit heißt '''<span style="color: #EE7600 ">4</span>''' der '''<span style="color: #EE7600 ">Grenzwert</span>''' der Funktion '''<span style="color: #3A5FCD ">f</span>''' für x gegen + <math>\infty</math> und gegen - <math>\infty</math>.<br /> |
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Version vom 30. Mai 2013, 15:12 Uhr
Will man anhand des Funktionsterms Aussagen über den Verlauf des Graphens machen, muss man auch wissen, wie sich die Funktion für immer größer und immer kleiner werdende x- Werte verhält.
Anschaulich gesprochen: Man betrachtet den Funktionsgraphen am rechen und linken Bildrand.
Bei ganzrationalen Funktionen hast du bereits vier Fälle über den charakteristischen Verlauf einer Funktion kennen gelernt.
Auch mit dem Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen für immer größer werdende x- Werte hast du dich schon auseinandergesetzt.
Hierfür ein Beispiel:
|
Diese Vermutung lässt sich mathematisch untersuchen:
f (x) = 
= 
- 
= 4 -
Für immer größer werdende x- Werte wird der Bruch immer kleiner, nähert sich also der Null an, während die Zahl 4 unverändert bleibt.
Also nähert sich f (x) für immer größer werdende x- Werte immer mehr 4 - 0 = 4 an.
Die Betrachtung einer Funktion f unter immer größer werdenden x- Werten wird mathematisch durch den Limes von f (x) für x gegen + 
dargestellt:
Durch den Limes von f für x gegen - wird untersucht, wie sich f (x) für immer kleiner werdende x- Werte verhält.
In unserem Beispiel können wir schreiben:
= 
= 
= 4 - 0 = 4
Das gleiche Ergebnis erhält man, wenn man den Limes von f für x gegen - untersucht, da das Vorzeichen hier keine Rolle spielt.
Damit heißt 4 der Grenzwert der Funktion f für x gegen + und gegen - .
Allgemein gilt:
Nähert sich der Graph einer Funktion für immer größer werdende x-Werte einer Zahl a immer weiter an, so nennt man a den Grenzwert von f für x gegen + :
In mathematischer Schreibweise: = a
Die Gerade y = a ist dann eine waagrechte Asymptote für den Graphen von f.
Äquivalent dazu definiert man den Grenzwert einer Funktion für immer kleiner werdende x- Werte, also für x gegen - .
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Manipulationen an Funktionen
