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Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="padding:1px;background: #FF82AB;border:0px groove;">
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<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">
  
  
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
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<big>Spiegle die Punkte '''<span style="color:#008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' im Applet am '''<span style="color: #551A8B">Koordinatenursprung</span>''':<br />
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| valign="top" width="400"|Spiegle die Punkte '''<span style="color: #008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' im Applet am Koordinatenursprung:<br />
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Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.<br />
 
Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.<br />
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Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br />
 
Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br />
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Um welche Funktion handelt es sich hier?<br />
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Um welche Funktion handelt es sich hier?<br /></big>
 
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<popup name="Hilfe zu GeoGebra">
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| valign=top width="400"|<popup name="Hilfe zu GeoGebra">
 
*Auch für die Punktspiegelung gibt es ein Symbol in der Werkzeugleiste: "Spiegle Objekt an Punkt"
 
*Auch für die Punktspiegelung gibt es ein Symbol in der Werkzeugleiste: "Spiegle Objekt an Punkt"
 
**Du kannst es unter dem Symbol für Achsenspiegelung auswählen.
 
**Du kannst es unter dem Symbol für Achsenspiegelung auswählen.
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|<ggb_applet width="580" height="797"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
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 +
|}
 
<br />
 
<br />
−
<popup name="Lösung">
+
<big>Zeichne den so entstandenen Funktionsgraphen auf deinem Arbeitsblatt ein und fülle die Lücken dort aus, nachdem du die Antworten mit dem folgenden Lückentext kontrolliert hast.</big><br />
−
*Es besteht eine Beziehung zwischen den ursprünglichen Punkten P(x|y) und ihren Spiegelpunkten P´(-x|-y):
+
<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pq4kbmcq5" style="border:0px;width:100%;height:590px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
−
**Die x- Koordinate und die y- Koordinate wird mit -1 multipliziert.
+
−
*Die Punkte liegen auf dem Graphen der Funktion f: x -> &frac12; x<sup>3</sup>.
+
−
</popup>
+
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|}
+
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
 
</div>
 
</div>
  
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<div style="padding:1px;background: #FF82AB;border:0px groove;">
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<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">
  
  
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
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<br />
+
 
−
<div class="lueckentext-quiz"> Ist der Graph einer Funktion f '''punktsymmetrisch zum Ursprung''',<br />
+
=== <big>Allgemein ===
 +
 
 +
Wie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern?<br />
 +
Setze die richtigen Lücken ein und übertrage sie anschließend auf dein Arbeitsblatt.<br /></big>
 +
 
 +
<div class="lueckentext-quiz">
 +
Ist der Graph einer Funktion f '''punktsymmetrisch zum Ursprung''',<br />
 
so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den '''betragsgleichen''' Funktionswert mit '''unterschiedlichem''' Vorzeichen.<br />
 
so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den '''betragsgleichen''' Funktionswert mit '''unterschiedlichem''' Vorzeichen.<br />
 
Es gilt also: f (x) = - f (-x)<br />
 
Es gilt also: f (x) = - f (-x)<br />
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</div>
 
</div>
−
 
−
Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' verläuft?<br />
 
−
 
−
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und<br />
 
−
worauf es im Funktionsterm ankommt.<br />
 
−
 
 
<br />
 
<br />
 
<br />
 
<br />
−
<popup name="Lösung">
+
<big>Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' verläuft?<br />
 +
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.<br />
 +
<br />
 +
Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter '''<span style="color: red">a</span>''', '''<span style="color: #00BFFF ">b</span>''', '''<span style="color: #76EE00 ">c</span>''', '''<span style="color: orange">d</span>''', '''<span style="color: #EE00EE">e</span>''' und damit den Funktionsterm und Graphen von '''f''' verändern.<br />
 +
Stelle sie so ein, dass '''f''' '''<span style="color: #551A8B ">punktsymmetrisch zum Ursprung</span>''' verläuft.<br />
 +
</big>
 +
<center><ggb_applet width="580" height="463"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/></center>
 +
<br />
 +
<br />
 +
 
 +
<big>Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?<br />
 +
Kontrolliere dich mit der folgenden Lösung:<br /></big>
 +
<br />
 +
<popup name="Lösung und Definition">
 
{|
 
{|
 
| valign="top"|
 
| valign="top"|
−
Beispiele für zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' punktsymmetrische Funktionen sind: <br />
+
Beispiele für Funktionsgleichungen zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' punktsymmetrischer Funktionen sind: <br />
 
*'''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #00C5CD ">g(x) = x<sup>15</sup> - x<sup>9</sup> + x<sup>7</sup> + x<sup>3</sup> - x</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #00C5CD ">g(x) = x<sup>15</sup> - x<sup>9</sup> + x<sup>7</sup> + x<sup>3</sup> - x</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #EE7600 ">h(x) = x<sup>7</sup> + x</span>'''<br />
 
*'''<span style="color: #EE7600 ">h(x) = x<sup>7</sup> + x</span>'''<br />
−
*'''<span style="color: #EE2C2C ">p(x) = sin(x)</span>'''<br />
+
*'''<span style="color: #EE1289 ">p(x) = sin(x)</span>'''<br />
  
  
−
Es dürfen nur ungerade Exponenten im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
+
Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur x- Potenzen mit <u>ungeraden</u> Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br />
−
Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man '''ungerade Funktion'''.<br />
+
 
<br />
 
<br />
 +
Eine ganzrationale Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br />
 +
'''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br />
  
−
''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
+
|width="1%"|
−
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss  für alle x- Werte gelten.<br />
+
−
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss auch der ursprüngliche Funktionswert mit verkehrtem Vorzeichen herauskommen:<br />
+
−
Z. B.: f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup><br />
+
−
f (-x) <br />
+
−
= - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br />
+
−
= '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br />
+
−
= - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
+
−
= - f (x)<br />
+
  
−
Bereits ein gerader Exponent sorgt für ein falsches Vorzeichen. <br />
+
|valign="top"|[[Datei:Punktsymmetrische Funktionen.png|380px]]
 +
|}
 +
</popup>
 +
<br />
 +
<br />
 +
<big>''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br />
 +
''Beweis:''<br />
 +
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss  für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.<br />
 +
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.<br />
 +
Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen vor einem x um:<br />
 +
Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br />
 +
f (-x) <br />
 +
= - (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''5'''</span></sup> + (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''3'''</span></sup><br />
 +
= '''<span style="color: red">+</span>'''x<sup>5</sup> '''<span style="color: red">-</span>''' x<sup>3</sup><br />
 +
= '''<span style="color: red">-</span>''' ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br />
 +
= '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br /></big>
 +
<br />
 +
<br />
 +
Bereits '''ein''' gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen. <br />
 
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
 
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.
  
−
|width="1%"|
+
</td></tr></table></center>
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</div>
  
−
|<ggb_applet width="453" height="393"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" />
+
<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">
−
</popup>
+
 
 +
 
 +
<center><table border="0" width="850px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td width="800px" valign="top">
 +
 
 +
=== <big>Übung ===
 +
<br />
 +
Ist die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder/noch?<br />
 +
Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.<br />
 +
<br />
 +
Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?</big>
 +
 
 +
<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pjqfuz13j" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
  
 +
<popup name="Bildnachweis">"Datei:Starfish.JPG" aus Wikimedia Commons (Autor: Achim Raschka)<br />
 +
http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Starfish.JPG#globalusage</popup>
 
<br />
 
<br />
 
<br />
 
<br />

Aktuelle Version vom 31. August 2013, 16:58 Uhr


Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:

Achte dabei auf die Kooordinaten der Spiegelpunkte.
Was fällt dir auf?
Welchen Zusammenhang kannst du zwischen den Koordinaten der eigentlichen Punkte und denen der Spiegelpunkte feststellen?

Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.
Um welche Funktion handelt es sich hier?



Zeichne den so entstandenen Funktionsgraphen auf deinem Arbeitsblatt ein und fülle die Lücken dort aus, nachdem du die Antworten mit dem folgenden Lückentext kontrolliert hast.


Allgemein

Wie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern?
Setze die richtigen Lücken ein und übertrage sie anschließend auf dein Arbeitsblatt.

Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)

Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.



Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft?
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und worauf es im Funktionsterm ankommt.

Im GeoGebra-Applet kannst du wieder die Parameter a, b, c, d, e und damit den Funktionsterm und Graphen von f verändern.
Stelle sie so ein, dass f punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft.



Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?
Kontrolliere dich mit der folgenden Lösung:



Auch das lässt sich rechnerisch erklären:
Beweis:
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. f (-x) = - f (x) muss für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.
Nur wenn jeder Exponent ungerade ist, dreht sich jedes Vorzeichen vor einem x um:
Z. B.: f (x) = -x5 + x3
f (-x)
= - (-x)5 + (-x)3
= +x5 - x3
= - ( -x5 + x3)
= - f (x)

Bereits ein gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen.
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor.


Übung


Ist die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder/noch?
Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.

Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?



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Manipulationen an Funktionen

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