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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen
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| + | <br /> | ||
| + | <div class="lueckentext-quiz"> Ist der Graph einer Funktion f '''punktsymmetrisch zum Ursprung''',<br /> | ||
| + | so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den '''betragsgleichen''' Funktionswert mit '''unterschiedlichem''' Vorzeichen.<br /> | ||
| + | Es gilt also: f (x) = - f (-x)<br /> | ||
| + | <br /> | ||
| + | Man kann aber auch vom '''Funktionsterm''' auf den '''Graphen''' schließen:<br /> | ||
| + | Gilt für eine Funktion f mit der '''Definitionsmenge D<sub>f</sub>''' für alle x ∈ D<sub>f</sub><br /> | ||
| + | f (x) = - f (-x),<br /> | ||
| + | dann verläuft der Graph von f '''punktsymmetrisch zum Ursprung'''. | ||
| + | </div> | ||
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| + | Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' verläuft?<br /> | ||
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| + | Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und<br /> | ||
| + | worauf es im Funktionsterm ankommt.<br /> | ||
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| + | <popup name="Lösung"> | ||
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| + | Beispiele für zum '''<span style="color: #551A8B ">Ursprung</span>''' punktsymmetrische Funktionen sind: <br /> | ||
| + | *'''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br /> | ||
| + | *'''<span style="color: #00C5CD ">g(x) = x<sup>15</sup> - x<sup>9</sup> + x<sup>7</sup> + x<sup>3</sup> - x</span>'''<br /> | ||
| + | *'''<span style="color: #EE7600 ">h(x) = x<sup>7</sup> + x</span>'''<br /> | ||
| + | *'''<span style="color: #EE2C2C ">p(x) = sin(x)</span>'''<br /> | ||
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| + | Es dürfen nur ungerade Exponenten im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br /> | ||
| + | Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man '''ungerade Funktion'''. | ||
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| + | Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss für alle x- Werte gelten.<br /> | ||
| + | Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss auch der ursprüngliche Funktionswert mit verkehrtem Vorzeichen herauskommen:<br /> | ||
| + | Z. B.: f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup><br /> | ||
| + | f (-x) <br /> | ||
| + | = - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br /> | ||
| + | = '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br /> | ||
| + | = - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br /> | ||
| + | = - f (x)<br /> | ||
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| + | Bereits ein gerader Exponent sorgt für ein falsches Vorzeichen. <br /> | ||
| + | In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. | ||
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| + | |<ggb_applet width="453" height="393" version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "false" /> | ||
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Version vom 29. Mai 2013, 11:15 Uhr
| Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:
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Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
so besitzen gleich weit vom Ursprung entfernte x- Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichem Vorzeichen.
Es gilt also: f (x) = - f (-x)
Man kann aber auch vom Funktionsterm auf den Graphen schließen:
Gilt für eine Funktion f mit der Definitionsmenge Df für alle x ∈ Df
f (x) = - f (-x),
dann verläuft der Graph von f punktsymmetrisch zum Ursprung.
Welche weiteren Funktionen kennst du, deren Graph punktsymmetrisch zum Ursprung verläuft?
Überlege dir, wie der Graph einer solchen Funktion aussehen muss und
worauf es im Funktionsterm ankommt.
| Zurück zur Achsensymmetrie zur y- Achse | Weiter zu den Grenzwerten im Unendlichen |
Manipulationen an Funktionen
