Symmetrie von ganzrationalen Funktionen: Unterschied zwischen den Versionen

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-{{Aufgaben|1|
+{{Aufgaben|1 Wahr oder falsch?|<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pv4yx7vst19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
+<popup Name="Lösung">Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge <math>D<sub>f</sub></math> ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich: <math>f(-x)=f(x)</math> gilt.
+Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge <math>D<sub>f</sub></math> ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich: '''<math>f(-x)=-f(x)</math>''' gilt.
+Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm nur '''gerade''' Exponenten enthält.
+Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält.
+Man bezeichnet eine Funktion als gerade Funktion, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.</popup>
+}}
+{{Aufgaben|2|
 '''a)'''
 <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p5njp3xva19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
 <popup Name="Tipp"> Multipliziert die Gleichungen erst aus, bevor ihr entscheidet.</popup>
-<popup Name="Tipp"> Eine Funktion ist achsensymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur '''gerade Exponenten''' und das absolute Glied (<math>a*x^0</math>) enthält.
+<popup Name="Tipp"> Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Gleichung nur '''gerade Exponenten''' und das absolute Glied (<math>a\cdot x^0</math>) enthält.
 Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur '''ungerade Exponenten''' enthält.</popup>
+<popup Name="Tipp">Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: <math>f(-x)=f(x)</math>.
+Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x gilt: <math>f(-x)=-f(x)</math></popup>
 <popup Name="Lösung"> Punktsymmetrie: <math>f(x)=x^3</math>,<math>f(x)=-x^3</math>,<math>f(x)=x^5</math>,<math>f(x)=x^5+x^3+x</math>,<math>f(x)=(x-3)*x*(x+3)</math>,<math>f(x)=(x^2-9)*x</math>
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 }}
-{{Aufgaben|2 Wahr oder falsch?|
+{{Aufgaben|3|Für welche t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse?
+'''a)'''<math>f(x)=x^t+x^2</math>
+'''b)'''<math>f(x)=x^3-x+t</math>
+'''c)'''<math>f(x)=(x+t)^2-4x</math>
+'''d)'''<math>f(x)=(x-t)(x+3)</math>
+'''e)'''<math>f(x)=tx^4+x^3-4x</math>
+'''f)'''<math>f(x)=x^3+2x^t</math>
+<popup Name="Tipp">'''a),f)'''Es gibt mehr als eine Lösung.
+'''c)'''Klammer ausmultiplizieren.
+'''d)'''Beachte die dritte binomische Formel.</popup>
+<popup Name="Lösung">'''a)'''Für alle geraden t, also …-4,-2,0,2,4,6,... --> Achsensymmetrie
+'''b)'''Für t=0 --> Punktsymmetrie
+'''c)'''Für t=2 --> Achsensymmetrie
+'''d)'''Für t=3 --> Achsensymmetrie
+'''e)'''Für kein t --> keine Symmetrie
+'''f)'''Für alle ungeraden t, also …-3,-1,1,3,5,... --> Punktsymmetrie
+</popup>
+}}

Aktuelle Version vom 13. November 2019, 18:54 Uhr

Aufgabe 1 Wahr oder falsch?

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Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=f(x)$ gilt.

Der Graph einer Funktion f mit der Definitionsmenge $D<sub>f</sub>$ ist genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x im Definitionsbereich: $f(-x)=-f(x)$ gilt. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn der Funktionsterm nur gerade Exponenten enthält. Der Graph einer Funktion f verläuft genau dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn der Funktionsterm nur ungerade Exponenten enthält.

Man bezeichnet eine Funktion als gerade Funktion, wenn ihr Graph achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Aufgabe 2

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Multipliziert die Gleichungen erst aus, bevor ihr entscheidet.

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Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn die Gleichung nur gerade Exponenten und das absolute Glied ( $a\cdot x^0$ ) enthält. Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die Gleichung nur ungerade Exponenten enthält.

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Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn für alle x gilt: $f(-x)=f(x)$ . Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn für alle x gilt: $f(-x)=-f(x)$

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Punktsymmetrie: $f(x)=x^3$ , $f(x)=-x^3$ , $f(x)=x^5$ , $f(x)=x^5+x^3+x$ , $f(x)=(x-3)*x*(x+3)$ , $f(x)=(x^2-9)*x$

Achsensymmetrie: $f(x)=x^2$ , $f(x)=-x^2$ , $f(x)=x^4$ , $f(x)=x^4-x^2$ , $f(x)=(x^2-9)*(x^2-16)$

Keine Symmetrie: $f(x)=x^2+x$ , $f(x)=2x-3$ , $f(x)=x^2+x+2$ , $f(x)=x^4-3x^3+x$ , $f(x)=(x-1)*x*(x^2-4)$ , $f(x)=-x^5-2x^3+x+2$

b) Greift euch drei Beispiele heraus und schreibt eine ausführliche Begründung für eure Einordnung.

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Bsp.: $f(x)=x^5+x^3+x$ , die Gleichung hat die Exponenten 5,3,1. Diese sind allesamt ungerade, also ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Aufgabe 3

Für welche t ist der Graph der Funktion f symmetrisch zum Ursprung oder zur y-Achse?

a) $f(x)=x^t+x^2$