Quadratische Funktionen

<div style="margin:0; margin-right:3px; margin-left:3px; border:3px solid #FF7F00; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:#C6E2FF; align:left;"> <center><table border="0" width="750px" cellpadding=5 cellspacing=15> <tr><td  width="300px" valign="top"> 
In diesem Lernpfad geht es darum, dass du im Bereich der quadratischen Funktionen noch etwas sicherer wirst. Im Laufe dieses Lernpfads kannst du also noch einmal die Scheitelpunktform und die Normalform der quadratischen Funktion wiederholen und einige Übungsaufgaben dazu erledigen. Am Ende dieses Lernpfads erwartet dich dann noch eine Anwendungsaufgabe zu diesem Themengebiet.
</td></tr></table></center> </div> 
== Die Scheitelpunktform==
=== Die Parameter der Scheitelpunktform ===
{{Aufgaben|1 Die Parameter der Scheitelpunktform erkunden| 
Fülle den folgenden Lückentext aus.
<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pumvik54518" style="border:0px;width:100%;height:550px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp"> Falls du nicht mehr genau weißt, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir das Applet unter dem Lückentext noch einmal an und probiere aus.</popup>
<iframe scrolling="no" title="Die Parameter der Scheitelpunktform" src="https://www.geogebra.org/material/iframe/id/BMqTQKE9/width/700/height/500/border/888888/smb/false/stb/false/stbh/false/ai/false/asb/false/sri/true/rc/false/ld/false/sdz/true/ctl/false" width="700px" height="500px" style="border:0px;"> </iframe>}} <br />

<br />
=== Scheitelpunktformen und ihre Graphen ===

{{Aufgaben|2 Zuordnung von Scheitelpunktformen zu ihren Graphen|Ordne den angegebenen Graphen ihre Scheitelpunktform zu, indem du die zusammengehörigen Felder aufeinander ziehst.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p6pzfcirn18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<popup Name="Tipp">
Falls du eine falsche Zuordnung getroffen hast, schaue noch einmal in Aufgabe 1 nach, wie die Scheitelpunktform aussieht und was die einzelnen Parameter am Graphen verändern.
</popup>}}<br />


{{Aufgaben|3 Zeichnen von Graphen anhand der Scheitelpunktform| 
Skizziere die angegebenen Funktionen als Graphen auf ein Blatt Papier:<br />

<math>1.\quad f(x)=3(x-2)^2+1</math> <br />
<math>2.\quad g(x)=-0,5(x+1)^2-2</math>
<popup Name="Tipp 1"> Schaue dir die Funktion bezüglich ihrer Parameter a,d und e genau an. Mache dir dann klar, wie der Graph ungefähr aussehen muss.</popup>
<popup Name="Tipp 2"> Falls du nicht mehr ganz im Kopf hast, was die einzelnen Parameter machen, schaue dir die Aufgabe 1 noch einmal an. </popup>
<popup name="Lösungen zu den Graphen">[[Datei:Lösungen zu Skizzen.png|thumb|links|500px|Lösungen zu den Skizzen]]</popup>
}}<br />
<br />
=== Funktionsgleichungen aufstellen ===
{{Aufgaben|4 Funktionsgleichungen aufstellen|Stelle mit Hilfe der angegebenen Punkte die Funktionsgleichung auf:
[[Datei:Wanted parabel.jpg|thumb|Wanted: Parabel|links]]
a) Wir suchen die Parabel f mit dem Scheitelpunkt S(-3I1), die durch den Punkt P(2I6) verläuft. <br>
<popup Name="Tipp 1">Der Scheitelpunkt liefert dir die Parameter d und e der Scheitelpunktform (s. Aufgabe 1), es fehlt also nur noch der Parameter a.  </popup>
<popup Name="Tipp 2">Die Parabel läuft durch den Punk P(2I6), es gilt also f(2)=6. Um a zu bestimmen, kannst du deshalb den Punkt P in die Gleichung einsetzen und nach a auflösen. Das bedeutet, dass du die Gleichung so umstellst, dass a auf einer Seite allein steht. </popup>
<popup Name="Tipp 3">Man setzt einen Punkt P(xIy) in eine Gleichung ein, indem man den x-Wert für jedes x  einsetzt und den y-Wert anstelle von f(x) schreibt. </popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt in die Scheitelpunktform einsetzen:<br>
<math>f(x)=a(x-(-3))^2+1=a(x+3)^2+1</math><br>
P einsetzen und nach a auflösen:<br>
<math>f(2)=6 </math> <br>
<math> \Leftrightarrow a(2+3)^2+1=6 </math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a+1=6   \mid -1</math><br>
<math> \Leftrightarrow 25a=5  \mid :25 </math><br>
<math> \Leftrightarrow a=\frac{1}{5}</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow f(x)=\frac{1}{5}(x+3)^2+1</math>
</popup>
b) Gesucht ist die Parabel g, die die y-Achse bei -4 schneidet, und die ihren Scheitelpunkt bei S(1I-1) hat.
<popup Name="Tipp">Welche Koordinaten hat der Schnittpunkt mit der y-Achse? Bestimme zunächst die Koordinaten und gehe dann wie in Teil a) vor.</popup>
<popup name="Lösung">
Scheitelpunkt einsetzen:<br>
<math>g(x)=a(x-1)^2-1</math>  <br>
Schnittpunkt mit der y-Achse P(0|-4) einsetzen, nach a auflösen:<br>
<math>g(0)=-4</math><br>
<math>a(0-1)^2-1=-4</math><br>
<math>1a-1=-4 \mid +1</math><br>
<math>a=-3</math><br>
a einsetzen:<br>
<math>\Rightarrow g(x)=-3(x-1)^2-1</math>
</popup>}}

== Scheitelpunktform und Normalform ==

{{Aufgaben|5 Rechnen mit der Scheitelpunktform und der Normalform|Überlege dir noch einmal, wie die Scheitelpunktform in die Normalform und die Normalform in die Scheitelpunktform umgerechnet wird.<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5077950" style="border:0px;width:100%;height:720px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}<br />
<br />
=== Von der Scheitelpunktform zur Normalform ===
{{Aufgaben|6 Umformung von der Scheitelpunktform zur Normalform|Forme die folgenden Scheitelpunktformen in deinem Heft in die Normalenformen um und klicke dann das richtige Ergebnis an.<iframe src="https://learningapps.org/watch?v=p4jtn4wkk18" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}
<popup name="Tipp 1">
Benutze zum Lösen die 1. oder 2. Binomische Formel!
</popup>
<popup Name="Tipp 2">
Behalte im Hinterkopf: 1. Punkt-vor-Strich-Rechnung und 2."Eine Klammer wird zuerst berechnet".
</popup>
<popup Name="Tipp 3">
1. Binomische Formel:
<math> (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
</math><br />

2. Binomische Formel:
<math> (a-b)^2 = a^2-2ab+b^2
</math>
</popup>
<popup name="Lösung">
<math>
\begin{array}{rlll}
f(x)&=&(x+3)^2 & \mid 1.\,Binomische\, Formel\, anwenden 
\\ &=&x^2+6x+9 \\
\end{array}
</math><br /><br />

<math>
\begin{array}{rlll}
g(x)&=&2(x-3)^2 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden 
\\ &=&2(x^2-6x+9) & \mid Klammer\, ausmultiplizieren 
\\ &=&2x^2-12x+18 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
h(x)&=&4(x+1)^2-6 & \mid 1.\, Binomische\, Formel\, anwenden 
\\ &=&4(x^2+2x+1)-6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren 
\\ &=&4x^2+8x+4-6 & \mid zusammenfassen
\\&=&4x^2+8x-2 \\
\end{array}
</math><br /><br />
<math>
\begin{array}{rlll}
i(x)&=&-0,5(x-2)^2+6 & \mid 2.\, Binomische\, Formel\, anwenden 
\\ &=&-0,5(x^2-4x+4)+6 & \mid Klammer\, ausmultiplizieren 
\\ &=&-0,5x^2+2x-2+6 & \mid zusammenfassen
\\&=&-0,5x^2+2x+4 \\
\end{array}
</math>
</popup><br />
<br />

=== Von der Normalform zur Scheitelpunktform ===
In Aufgabe 5 hast du wiederholt, wie man die Normalform in die Scheitelpunktform überführt. Das kannst du in Aufgabe 9 üben. Zuerst wollen wir uns aber noch einmal genau ansehen, was die quadratische Ergänzung ist und warum man sie für die Umwandlung braucht. Wenn du dich mit der quadratischen Ergänzung schon sicher fühlst, kannst du direkt Aufgabe 9 bearbeiten.<br><br>
'''Die quadratische Ergänzung''' ist ein Trick, den man benutzt, wenn die man die 1. oder 2. binomische Formel rückwärts anwenden anwenden möchte. <br>
Zur Erinnerung: <br>
{{Merke|
''1. Binomische Formel:'' 
<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 </math> <br>
''2. Binomische Formel:''  <math> (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 </math>}} 
Wir wollen jetzt also nicht die Klammer ausmultiplizieren, sondern den Term zu so einem Klammerausdruck umformen, z.B. den Term <math>x^2+6x+15</math>. <br>
Wie das funktioniert, kannst du in dieser Aufgabe noch mal wiederholen:
{{Aufgaben|7 Die quadratische Ergänzung wiederholen|
<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5233722" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

'''Wichtig''': Wenn for dem x<sup>2</sup> ein Faktor steht, muss dieser zunächst ausgeklammert werden:
{{Aufgaben|8 Quadratische Ergänzung bei Vorfaktor|Ergänze in dem folgenden Beispiel die Umformungsschritte, indem du sie an die richtige Stelle ziehst.}}
<div class="lueckentext-quiz">
<math>3x^2-24x+60 </math> | '''Faktor 3 ausklammern''' <br>
<math>3(x^2-8x+20) </math> | '''Faktor 2 "herausziehen"''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 +20) </math> | '''quadratische Ergänzung''' <br>
<math>3(x^2-2 \cdot x \cdot 4 + 4^2-4^2+20) </math> | '''2. Binomische Formel ''' <br>
<math>3((x-4)^2-4^2+20) </math> | '''zusammenfassen ''' <br>
<math>3((x-4)^2+4) </math> | '''ausmultiplizieren''' <br>
<math>3(x-4)^2+12 </math> 
</div>


{{Aufgaben|9 Umformung von der Normalform zur Scheitelpunktform|<iframe src="https://learningapps.org/watch?app=5078271" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>}}

<popup name="Tipp">
Denke daran, bei den Funktionsgleichungen von g und h den Faktor vor dem <math>x^2</math> zunächst auszuklammern!
</popup>

<popup name="Lösung">
<popup name="f(x)">
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&x^2-8x+18
\\ &=&x^2-8x+4^2-4^2+18
\\ &=&(x-4)^2-16+18
\\ &=&(x-4)^2+2 \\
\end{array}
</math>


<popup name="g(x)"><math>
\begin{array}{rll}
g(x)&=&5x^2+30x+43 \\ &=&5(x^2+6x+8.6) \\ &=&5(x^2+6x+3^2-3^2+8.6) \\ &=&5[(x+3)^2-3^2+8.6]  \\ &=&5[(x+3)^2-0.4] \\ &=&5(x+3)^2-2
\end{array}
</math>

<popup name="h(x)">
<math>
\begin{array}{rll}
h(x)&=&0.2x^2-0.6x+0.45
\\ &=&0.2(x^2-3x+2.25)
\\ &=&0.2(x^2-3x+1.5^2-1,5^2+2.25)
\\ &=&0.2(x-1.5)^2
\end{array}
</math>
</popup>

== Anwendungsaufgabe "Turm" ==
{{Aufgaben|8 Turm|Von einem Turm aus wird ein Stein geworfen. Die Wurfbahn ist parabelförmig und kann mit der Gleichung <br><math>f(x)=-0.08x^2-0.8x+15</math> <br>beschrieben werden ( x und f(x) in Metern). <br> Fertige zunächst eine Skizze an und beantworte dann folgende Fragen: <br>
1. Wie hoch ist der Turm? <br>
2. Welche maximale Höhe erreicht der Stein? Wie weit ist er dann von dem Turm entfernt. <br>
3. In welcher Entfernung vom Turm schlägt der Stein auf den Boden auf?}}

<popup name="Lösung zu Aufgabe 1">
Turmhöhe als Schnittpunkt mit der y-Achse:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(0)&=&-0,08 \cdot 0^2+0,8 \cdot 0+15 \\ 
&=& 15
\end{array} 
</math> <br> Der Turm ist 15m hoch.

</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 2">
Der Scheitelpunkt ist gesucht. Umwandeln in die Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rll}
f(x)&=&-0,08x^2+0,8x+15 \\ &=&-0,08(x^2-10x-187,5) \\ &=&-0,08((x-5)^2-25-187,5) \\ &=&-0,08(x-5)^2+17
\end{array}
</math>
<br />
Scheitelpunkt ablesen: S(5|17)<br>
5 Meter vom Turm entfernt erreicht der Stein die maximale Höhe von 17 Metern.
</popup>
<popup name="Lösung zu Aufgabe 3">
Nullstellen berechnen:<br />
''Lösungsweg 1'': Lösen mit der pq-Formel:<br />

<math>
\begin{array}{rlll}
0&=&f(x)& \\ 
&=&-0,08x^2+0,8x+15 &  \mid :-0,08  \\ 
&=&x^2-10x-187,5 & \\
\end{array}

</math>  <br><br>
<math> \Rightarrow p=-10, q=-187,5 </math> <br><br>

<math>
\begin{array}{rll} 
x_{1/2} &=& -\frac{-10}{2} \pm \sqrt{{\left ( \frac{-10}{2} \right )}^2 -(-187,5)} \\
 &=& 5 \pm 14.58 \\
\end{array}
 </math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math>  x_2=-14.58+5=-9.58
</math>

''Lösungsweg 2'': Lösen mit der Scheitelpunktform:<br />
<math>
\begin{array}{rlll}
0 & = & -0,08(x-5)^2+17 & \mid :-0,08 \\
 &=& (x-5)^2-212.5 & \mid +212.5 \\ 
 212.5 &=& (x-5)^2 & \mid \sqrt{ } \\ 
\pm 14.58 &=& x-5 & \mid +5 \\
\pm 14.58+5 &=& x & \\
\end{array}
</math><br>
<math>
\Rightarrow x_1=14.58+5=19.58 </math> und <math>  x_2=-14.58+5=-9.58
</math><br>
Der Stein trifft nach 19.58 Metern auf den Boden.
</popup>