Gemischte Aufgaben

{{Aufgaben|1 Graphen skizzieren| Skizziere folgende Graphen. Achte dabei auf das Verhalten nahe Null und gegen Unendlich sowie auf die Symmetrie.

'''a)'''
<math>f(x)=x^4-x+1</math>

'''b)'''
<math>f(x)=\frac{1}{3}x^4+x^3-2</math>

'''c)'''
<math>f(x)=2x^3-x^2+1</math>


<popup Name="Lösung">
a)  [[Datei:Geogebra7.png|zentriert|300px|a)]]

b)  [[Datei:Geogebra6.png|zentriert|300px|a)]]

c)  [[Datei:Geogebra9.png|zentriert|300px|a)]]
</popup>
}}

{{Aufgaben|2 Funktionsgleichung aufstellen| Bestimme mit den gegebenen Eigenschaften eine passende Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion.

'''a)'''
Die Graph ist punksymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau 3 Nullstellen.

'''b)'''
Die Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat mindestens Grad 3 und besitzt keine Nullstellen.

'''c)'''
Der Graph geht für x->-∞ und für x->∞ gegen ∞ und verhält sich nahe Null wie <math>f(x)=x^3-1</math>.

'''d)'''
Der Graph hat einfache Nullstellen bei -2 und 0 sowie eine doppelte bei 3.

<popup Name="Lösung">
'''a)'''
z.B. <math>f(x)=x^3-x</math>

'''b)'''
z.B. <math>f(x)=x^4+1</math>

'''c)'''
z.B. <math>f(x)=x^4+x^3-1</math>

'''d)'''
<math>f(x)=(x+2)x(x-3)^2</math>

</popup>
}}

{{Aufgaben|3| <iframe src="https://learningapps.org/watch?v=pj2vfft2n19" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>

<popup Name="Lösung">
'''Wahr'''

Es gibt keine ganzrationale Funktion dritten Grades ohne Nullstellen. Begründung: Da eine ganzrationale Funktion dritten Grades ein unterschiedliches Unendlichkeitsverhalten für x->∞ und x->-∞ aufweist, hat der Graph zwangsläufig eine Nullstelle.

Gegeben sei die Funktion $$f(x)=x^3-2x^2+1$$. Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Begründung: Durch eine Verschiebung entlang der y-Achse kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Verschiebung anhand der x-Achse klappt allerdings nicht.

'''Falsch'''

Der Graph einer ungeraden Funktion verläuft durch den Ursprung. Begründung: Gegenbeispiel: <math>f(x)=x^3-1</math>

Eine ganzrationale Funktion dritten Gerades hat genau drei Nullstellen. Begründung: Sie hat maximal drei Nullstellen, kann aber auch weniger haben (<math>f(x)=x^3</math> hat nur eine Nullstelle bei x=0).

Wenn eine ganzrationale gerade Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Nullstelle. Begründung: Gegenbeispiel: <math>f(x)=x^4</math> hat nur bei 0 eine Nullstelle.

Durch Stauchen des Graphen einer ganzrationalen Funktion kann man das Verhalten des Graphen für x gegen Unendlich verändern. Begründung: Egal wie sehr die Funktion gestaucht wird, früher oder später bleibt das Unendlichkeitsverhalten gleich.
</popup>
}}