Gemischte Aufgaben

Aufgabe 1 Graphen skizzieren Skizziere folgende Graphen. Achte dabei auf das Verhalten nahe Null und gegen Unendlich sowie auf die Symmetrie. a) $f(x)=x^4-x^2+1$ b) $f(x)=\frac{1}{3}x^4+x^3-2$ c) $f(x)=2x^3-x^2+1$ d) $f(x)=-x^3+2x$ Lösung anzeigen Lösung verstecken a) b) c) d)

Aufgabe 2 Funktionsgleichung aufstellen Bestimme mit den gegebenen Eigenschaften eine passende Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion. a) Die Graph ist punksymmetrisch zum Ursprung und besitzt genau 3 Nullstellen. b) Die Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat mindestens Grad 3 und besitzt keine Nullstellen. c) Der Graph geht für x->-∞ und für x->∞ gegen ∞ und verhält sich nahe Null wie $f(x)=x^3-1$. d) Der Graph hat einfache Nullstellen bei -2 und 0 sowie eine doppelte bei 3. Tipp anzeigen Tipp verstecken Bei a) muss eine Nullstelle 0 sein, damit die Punktsymmetrie erhalten bleibt. Lösung anzeigen Lösung verstecken a) z.B. $f(x)=x(x-1)(x+1)=x^3-x$ b) z.B. $f(x)=x^4+1$ c) z.B. $f(x)=x^4+x^3-1$ d) $f(x)=(x+2)x(x-3)^2$

Aufgabe 3 Lösung anzeigen Lösung verstecken Wahr Es gibt keine ganzrationale Funktion dritten Grades ohne Nullstellen. Begründung: Da eine ganzrationale Funktion dritten Grades ein unterschiedliches Unendlichkeitsverhalten für x->∞ und x->-∞ aufweist, hat der Graph zwangsläufig eine Nullstelle. Gegeben sei die Funktion $$f(x)=x^3-2x^2+1$$. Durch Verschieben des Graphen kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Begründung: Durch eine Verschiebung entlang der y-Achse kann man die Anzahl der Nullstellen verändern. Verschiebung anhand der x-Achse klappt allerdings nicht. Falsch Der Graph einer ungeraden Funktion verläuft durch den Ursprung. Begründung: Gegenbeispiel: $f(x)=x^3-1$ Eine ganzrationale Funktion dritten Gerades hat genau drei Nullstellen. Begründung: Sie hat maximal drei Nullstellen, kann aber auch weniger haben ($f(x)=x^3$ hat nur eine Nullstelle bei x=0). Wenn eine ganzrationale gerade Funktion eine Nullstelle hat, dann hat sie eine weitere Nullstelle. Begründung: Gegenbeispiel: $f(x)=x^4$ hat nur bei 0 eine Nullstelle. Durch Stauchen des Graphen einer ganzrationalen Funktion kann man das Verhalten des Graphen für x gegen Unendlich verändern. Begründung: Egal wie sehr die Funktion gestaucht wird, früher oder später bleibt das Unendlichkeitsverhalten gleich.