Achsensymmetrie zur y- Achse

__NOTOC__
<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">


<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">
<big>Spiegle die Punkte '''<span style="color: #008B00 ">A</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">B</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">C</span>''', '''<span style="color: #008B00 ">D</span>''' und '''<span style="color: #008B00 ">E</span>''' an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>'''.<br />
<br />
Vergleiche die Koordinaten der gespiegelten Punkte mit denen der ursprünglichen Punkte.<br />
Was fällt dir auf?<br />
<br />
Verbinde die Punkte zu einem Funktionsgraphen.<br />
Welche Funktion wird hier abgebildet?</big><br />
<br />

{|
|valign="top"|<popup name="Hilfe zu GeoGebra">
*Einen Punkt kannst du, wie im letzten Kapitel, über das Symbol "Neuer Punkt" in der Werkzeugleiste direkt an die jeweilige Stelle im Applet setzen.
*Es gibt aber auch die Möglichkeit Objekte direkt zu spiegeln: 
**Wähle das Symbol "Spiegle Objekt an Gerade" in der Werkzeugleiste aus.
**Klicke zuerst den Punkt an, den du spiegeln willst, und danach die Gerade, an der der Punkt gespiegelt werden soll.
*In der Werkzeugleiste kannst du unter dem Symbol "Text einfügen" das Symbol "Freihandskizze erkennen" auswählen.
** Damit lassen sich die einzelnen Punkte zu einem Graphen verbinden.
</popup>

|width="0,5%"|

| valign="top"|<ggb_applet width="581" height="477"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "true" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "true" showToolBarHelp = "true" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/>
|}
<br />
<big>Übertrage die gespiegelten Punkte und den daraus entstandenen Funktionsgraphen auf dein Arbeitsblatt.<br />
Fülle den Lückentext aus und setze die kontrollierten Antworten auf deinem Arbeitsblatt richtig ein.</big><br />
<br />
<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pbvmnw5o3" style="border:0px;width:100%;height:590px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
</td></tr></table></center>
</div>

<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">


<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">
=== <big>Allgemein ===
Kannst du jetzt eine allgemeine Regel herleiten?<br />
Fülle den Lückentext aus und übertrage die kontrollierten Antworten auf dein Arbeitsblatt.</big><br />

<div class="lueckentext-quiz">
<u>MERKE:</u><br /> 
Ist der Graph einer Funktion f '''achsensymmetrisch zur y- Achse''',<br />
so besitzen '''gleich weit vom Ursprung entfernte''' x- Werte immer den gleichen '''Funktionswert'''.<br />
Es gilt also: f (x) = f (-x).<br />
<br />
Man kann aber auch vom '''Funktionsterm''' auf den '''Verlauf des Graphen''' schließen:<br />
Gilt für eine Funktion f mit der '''Definitionsmenge D<sub>f</sub>''' für alle x ∈ D<sub>f</sub>:<br />
f (x) = f (-x),<br />
dann verläuft der Graph von f '''achsensymmetrisch zur y- Achse'''.

</div>

<br />
<br />
<br />

<big>Kennst du weitere Beispiele für achsensymmetrische Funktionen;<br />
also eine Funktion, deren Graph  sich nicht verändert, wenn er an der '''<span style="color: #551A8B ">y- Achse</span>''' gespiegelt wird?<br />

Wie muss der Graph einer solchen Funktion aussehen?<br />
Worauf kommt es im Funktionsterm an?<br />
<br />
Im GeoGebra-Applet ist eine Funktion '''f(x)''' gegeben, die du noch verändern kannst. <br />
Über die Schieberegler kannst du entscheiden, ob die jeweiligen x-Potenzen im Funktionsterm auftauchen oder nicht.<br />
Stelle die Parameter '''<span style="color: red">a</span>''', '''<span style="color: #00BFFF ">b</span>''', '''<span style="color: #76EE00 ">c</span>''', '''<span style="color: orange">d</span>''', '''<span style="color: #EE00EE">e</span>''' so ein, dass '''f''' '''<span style="color: #551A8B">achsensymmetrisch zur y- Achse</span>''' ist.<br /></big>
<br />
<ggb_applet width="580" height="463"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" useLocalJar="true"/>
<br />
<br />
<big>Kannst du bereits Teile des Definitions-Lückentextes auf deinem Arbeitsblatt ausfüllen?<br />
Wenn nicht, hilft dir diese Lösung weiter:<br /></big>
<br />
<popup name="Lösung und Definition">
{|
| valign="top"| Beispiele wären die Funktionen<br />
*'''<span style="color: #EE7600 ">f: x -> x<sup>2</sup> + 1</span>'''<br />
*'''<span style="color: #00B2EE ">g: x -> -x<sup>4</sup> + 3</span>'''<br />
*'''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
*'''<span style="color: #EE1289 ">p: x -> cos(x)</span>'''<br />
<br />
Alle ganzrationalen Funktionen haben gemeinsam, dass in ihrem Funktionsterm <br />
'''<span style="color: red">nur x- Potenzen mit <u>geraden</u> Exponenten</span>'''<br />
vorkommen.<br />
<br />
Eine solche Funktion nennt man dementsprechend <br />
'''<colorize>gerade Funktion</colorize>'''.<br />

|width="0,5%"|

| valign="top"|[[Datei:Achsensymmetrische Funktionen.png|300px]]

|}
</popup>
<br />
<br />
<big>''Woran liegt das?''<br />
<br />
<br />
'''''Beweis:'''''<br />
Für Achsensymmetrie zur y- Achse muss immer '''h(x) = h(-x)''' für alle möglichen x- Werte einer Funktion h gelten.<br />
Gibt es <span style="color: red">nur gerade Exponenten</span>, wird jedes negative Vorzeichen vor einem x- Wert aufgehoben: <br />
Z. B.: '''<span style="color: #00CD00  ">h: x -> x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1</span>'''<br />
h(-x) <br />
= ('''<span style="color: red">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: red">12</span>'''</sup> - 4 ('''<span style="color: red">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: red">8</span>'''</sup> - 1<br />
= ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: red">+</span>'''x)<sup>8</sup> - 1<br />
= x<sup>12</sup> - 4x<sup>8</sup> - 1<br />
= h(x)<br /></big>
<br />
Sobald <span style="color: #912CEE">auch ungerade Exponenten</span> im Funktionsterm vorkommen, sind deren Vorzeichen falsch und die Funktion ist nicht mehr achsensymmetrisch zur y- Achse: <br />
Z. B.: k(x) = x<sup>12</sup> - 4x<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br />
k(-x)<br />
= (-x)<sup>12</sup> - 4('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>'''<span style="color: #912CEE">9</span>'''</sup> - 1<br />
= (+x)<sup>12</sup> - 4 ('''<span style="color: #912CEE">-</span>'''x)<sup>9</sup> - 1<br />
= x<sup>12</sup> '''<span style="color: #912CEE ">+</span>''' 4x<sup>9</sup> - 1<br />
'''<span style="color: #912CEE">≠ k(x)</span>'''
</td></tr></table></center>
</div>

<div style="padding:1px;background:#B452CD;border:0px groove;">


<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">
=== <big>Übung ===
Ist die Funktion gerade oder nicht?<br />
Ordne die Funktionsterme und Graphen der richtigen Seite zu.</big><br />

<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pdz3cq46c" style="border:0px;width:100%;height:900px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe>
<br />
<br />
{|
{{Vorlage:Lesepfad Ende
|Link zurück=[[Manipulationen an Funktionen/Symmetrie von Funktionsgraphen|Zurück zur Symmetrie von Funktionsgraphen]]
|Link vor=[[Manipulationen an Funktionen/Symmetrie von Funktionsgraphen/Punktsymmetrie zum Ursprung|Weiter zur Punktsymmetrie zum Ursprung]]
|Text Copyright=Manipulationen an Funktionen
}}
|}