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im neuen Projektwiki (projekte.zum.de).Punktsymmetrie zum Ursprung: Unterschied zwischen den Versionen
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<tr><td width="800px" valign="top"> | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
| − | === <big>Allgemein</big> | + | === <big>Allgemein === |
| + | |||
| + | Wie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern?<br /> | ||
| + | Setze die richtigen Lücken ein und übertrage sie anschließend auf dein Arbeitsblatt.<br /></big> | ||
<div class="lueckentext-quiz"> | <div class="lueckentext-quiz"> | ||
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<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | <popup name="Lösung"> | + | |
| + | <big>Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?<br /> | ||
| + | Kontrolliere dich mit der folgenden Lösung:<br /></big> | ||
| + | <br /> | ||
| + | <popup name="Lösung und Definition"> | ||
{| | {| | ||
| valign="top"| | | valign="top"| | ||
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| − | Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur | + | Bei den ganzrationalen Funktionen dürfen <span style="color: red">nur x- Potenzen mit <u>ungeraden</u> Exponenten</span> im Funktionsterm auftauchen, also x<sup>1</sup>, x<sup>3</sup>, x<sup>5</sup>, ...<br /> |
<br /> | <br /> | ||
| − | Eine Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br /> | + | Eine ganzrationale Funktion, die nur ungerade Exponenten enthält, nennt man<br /> |
'''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br /> | '''<colorize>ungerade Funktion</colorize>'''.<br /> | ||
|width="1%"| | |width="1%"| | ||
| − | |valign="top"|[[Datei:Punktsymmetrische Funktionen.png| | + | |valign="top"|[[Datei:Punktsymmetrische Funktionen.png|380px]] |
|} | |} | ||
</popup> | </popup> | ||
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | ''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br /> | + | <big>''Auch das lässt sich rechnerisch erklären:''<br /> |
| + | ''Beweis:''<br /> | ||
Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.<br /> | Die Beziehung f (x) = - f (-x), bzw. '''f (-x) = - f (x)''' muss für alle x- Werte gelten, für die die Funktion definiert ist.<br /> | ||
Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.<br /> | Setzt man negative x- Werte in die Funktionsgleichung ein, muss das den gleichen Funktionswert, aber mit verkehrtem Vorzeichen ergeben.<br /> | ||
| − | Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen | + | Nur wenn <span style="color: red">jeder Exponent ungerade</span> ist, dreht sich jedes Vorzeichen vor einem x um:<br /> |
| − | Z. B.: f (x) = -x<sup | + | Z. B.: '''<span style="color: #00CD00 ">f (x) = -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup></span>'''<br /> |
f (-x) <br /> | f (-x) <br /> | ||
| − | = - (-x)<sup>5</sup> + (-x)<sup>3</sup><br /> | + | = - (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''5'''</span></sup> + (<span style="color: red">'''-'''</span>x)<sup><span style="color: red">'''3'''</span></sup><br /> |
| − | = '''+'''x<sup>5</sup> '''-''' x<sup>3</sup><br /> | + | = '''<span style="color: red">+</span>'''x<sup>5</sup> '''<span style="color: red">-</span>''' x<sup>3</sup><br /> |
| − | = - ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br /> | + | = '''<span style="color: red">-</span>''' ( -x<sup>5</sup> + x<sup>3</sup>)<br /> |
| − | = '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br /> | + | = '''<span style="color: red">-</span>''' f (x)<br /></big> |
<br /> | <br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
Bereits '''ein''' gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen. <br /> | Bereits '''ein''' gerader Exponent sorgt schon für ein falsches Vorzeichen. <br /> | ||
In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. | In diesem Fall läge keine Punktsymmetrie zum Ursprung vor. | ||
| − | |||
| − | |||
</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> | ||
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=== <big>Übung === | === <big>Übung === | ||
<br /> | <br /> | ||
| − | Ist die Funktion | + | Ist die Funktion achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder weder/noch?<br /> |
Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.<br /> | Wähle eine Rubrik aus und klicke auf alle zugehörigen Funktionen, bis das Puzzle vollständig aufgedeckt ist.<br /> | ||
<br /> | <br /> | ||
Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?</big> | Warum wurde gerade dieses Bild als Hintergrund gewählt?</big> | ||
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<iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pjqfuz13j" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | <iframe src="http://LearningApps.org/watch?v=pjqfuz13j" style="border:0px;width:100%;height:500px" webkitallowfullscreen="true" mozallowfullscreen="true"></iframe> | ||
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| + | <popup name="Bildnachweis">"Datei:Starfish.JPG" aus Wikimedia Commons (Autor: Achim Raschka)<br /> | ||
| + | http://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Starfish.JPG#globalusage</popup> | ||
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Aktuelle Version vom 31. August 2013, 15:58 Uhr
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Spiegle die Punkte A, B, C, D und E im Applet am Koordinatenursprung:
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AllgemeinWie lässt sich diese Feststellung verallgemeinern? Ist der Graph einer Funktion f punktsymmetrisch zum Ursprung,
Kannst du die Lücken der Definition auf deinem Arbeitsblatt schon ausfüllen?
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Übung
Manipulationen an Funktionen |
