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Übungen: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Kreuzworträtsel zu Manipulationen an Funktionen'''<br />
 
'''Kreuzworträtsel zu Manipulationen an Funktionen'''<br />
 
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y-Richtung wird geschrieben als: yrichtung <br />
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Mehrere Worte werden zusammen geschrieben
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| links|| Wie verschiebt sich der Graph, wenn gilt: a größer 0?
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| links|| Wie verschiebt sich der Graph von f(x + a) + b, für a größer 0?
 
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| Parameter|| Was sorgt dafür, dass der Graph nach oben verschoben wird?
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| Parameter|| Wie nennt man die veränderlichen Buchstaben in einer Funktionsgleichung?
 
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| rechts|| Wie verschiebt sich der Graph, wenn gilt: a kleiner 0?
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| rechts|| Wie verschiebt sich der Graph von f(x + a) + b, wenn gilt: a kleiner 0?
 
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| x-Richtung|| In welche Richtung wird der Graph gestreckt, wenn der Streckungsfaktor 1/a ist?
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| xRichtung|| In welche Richtung wird der Graph der Funktion f(a ∙ x) gestreckt?
 
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| Spiegelung an der x-Achse|| Was passiert, wenn die Funktionswerte mit -1 multipliziert werden?
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| Spiegelung an der x-Achse|| Was passiert mit einem Graphen, wenn alle Funktionswerte mit -1 multipliziert werden?
 
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| y-Richtung||  In welche Richtung wird der Graph g(x) gestreckt, wenn gilt: g(x)=2f(x)?
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| yRichtung||  In welche Richtung wird der Graph von g gestreckt, wenn gilt: g = 2 ∙ f?
 
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| Punktsymmetrie|| Auf was kann man schließen, wenn gleichweit vom Ursprung entfernte x-Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzen?
 
| Punktsymmetrie|| Auf was kann man schließen, wenn gleichweit vom Ursprung entfernte x-Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzen?
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| ungerade Funktion|| Wie nennt man eine Funktion mit nur ungeraden Exponenten?
 
| ungerade Funktion|| Wie nennt man eine Funktion mit nur ungeraden Exponenten?
 
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| Achsensymmetrie|| Welche Symmetrie liegt zur y-Achse vor?
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| Achsensymmetrie|| Welche Symmetrie liegt vor, wenn eine Funktion f für gleich weit vom Ursprung entfernte x-Werte immer die gleichen Funktionswerte besitzt?
 
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| Funktionswert|| Was ist ebenfalls gleich, wenn eine Funktion f, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist und gleich weite vom Ursprung entfernte x-Werte besitzt?
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| gerade Funktion|| Eine Funktionen mit nur geraden Exponenten nennt man ...?
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| gerade Funktion|| Funktionen mit nur geraden Exponenten nennt man...
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| lim|| Mit welchem Kürzel untersucht man die Funktionswerte für immer größer oder kleiner werdende x-Werte?
 
| lim|| Mit welchem Kürzel untersucht man die Funktionswerte für immer größer oder kleiner werdende x-Werte?
 
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| Limes|| Wofür steht 'lim'?
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| Limes|| Wofür steht die Abkürzung 'lim'?
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| Grenzwert|| Wofür steht '''G'''?  
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'''1. Symmetrie'''
 
'''1. Symmetrie'''
 
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Alle Exponenten, die in einem Funktionsterm auftauchen müssen '''gerade sein''', um Achsensymmetrie zur y-Achse vorweisen zu können. Wenn der Funktionsterm einer '''geraden Funktion''' (= nur gerade Exponenten) vorliegt, kann man auf den Graphen der Funktion schließen, da alle gleich weit vom Ursprung entfernte x-Werte zugleich '''Achsensymmetrie zur y-Achse''' bedeuten. Daraus folgt: f(x)= f(-x). <br />Eine Funktion f(x), die nur ungerade Exponenten besitzt ist '''punktsymmetrisch zum Ursprung'''. Die Punktsymmetrie zum Ursprung zeigt sich am Graphen dadurch, dass alle Punkte gleich weit vom Ursprung entfernt sind, jedoch '''unterschiedliche Vorzeichen''' haben. Daraus folgt: f(-x)= -f(x)
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Alle Exponenten, die in einem Funktionsterm auftauchen, müssen '''gerade sein''', um Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen zu können.<br />
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Wenn der Funktionsterm einer '''geraden Funktion''' vorliegt, kann man darauf schließen, dass alle gleich weit '''vom Ursprung entfernten''' x-Werte '''gleiche Funktionswerte''' haben.<br />
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Daraus folgt: f(x)= f(-x).<br />
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Eine Funktion f(x), die nur ungerade Exponenten besitzt, ist '''punktsymmetrisch zum Ursprung'''. <br />
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Die '''Punktsymmetrie zum Ursprung''' zeigt sich am Graphen dadurch, dass alle '''Funktionswerte''', die gleich weit vom Ursprung entfernt sind, '''betragsmäßig''' gleich sind, aber unterschiedliche '''Vorzeichen''' haben.<br />
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Daraus folgt: f(-x)= -f(x)
  
 
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'''2. Verschiebung'''
 
'''2. Verschiebung'''
 
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Bei einer Verschiebung eines Graphen der Funktion f wird der Graph um a Einheiten in '''x-Richtung''' bzw. um '''b Einheiten''' in y-Richtung verschoben. Ist a>0 wird der Graph nach '''rechts''' verschoben, bei '''a<0''' nach links. Für b>0 wird der Graph nach oben, in '''positive Richtung''', bei b<0 nach '''unten''' in negative Richtung verschoben. <br />Folglich sorgt a unabhängig von b für eine '''Verschiebung auf der x-Achse''', bzw. b unabhängig von a für eine '''Verschiebung auf der y-Achse'''. <br />Allgemein gilt: g(x)=f(x+a)+b
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Der Graph einer Funktion f(x - a) + b wird um a Einheiten in '''x-Richtung''' bzw. um b Einheiten in '''y-Richtung''' verschoben.<br />
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Ist a>0 wird der Graph nach '''rechts''' verschoben, bei a<0 nach '''links'''. <br />
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Für b>0 wird der Graph in '''positive Richtung''', bei b<0 in '''negative Richtung''' verschoben. <br />
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Folglich sorgt a unabhängig von b für eine '''Verschiebung entlang der x-Achse''', bzw. b unabhängig von a für eine '''Verschiebung entlang der y-Achse'''. <br />
  
 
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'''3. Streckung und Spiegelung'''
 
'''3. Streckung und Spiegelung'''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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Bei einer Funktion der Form g(x)= -a&sdot;f(x) handelt es sich bei a um den '''Streckungsfaktor''', der den Graphen in '''y-Richtung''' streckt. Zudem wird der Graph durch das '''negative Vorzeichen''' an der x-Achse gespiegelt.<br />
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Bei einer Funktion der Form g(x) = -a &sdot; f(x) handelt es sich bei '''a''' um den Streckungsfaktor, der den Graphen in '''y-Richtung''' streckt. <br />
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Bei einer Funktion der Form g(x)=f(-a&sdot;x) beträgt der Streckungsfaktor stets '''1/a''', der die Funktion in '''x-Richtung''' streckt. Durch das negative Vorzeichen in der Klammer wird der Graph an der '''y-Achse''' gespiegelt.  
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Zudem wird der Graph durch das negative Vorzeichen an der '''x-Achse''' gespiegelt.<br />
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Bei einer Funktion der Form g(x) = f(-a &sdot; x) beträgt der Streckungsfaktor stets '''1/a''', der die Funktion in '''x-Richtung''' streckt. <br />
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Durch das negative Vorzeichen in der Klammer wird der Graph an der '''y-Achse''' gespiegelt.  
  
 
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'''4. Grenzwerte im Unendlichen'''
 
'''4. Grenzwerte im Unendlichen'''
 
<div class="lueckentext-quiz">
 
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Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der '''Grenzwert''' der Funktion f für x <math>\rightarrow\</math>+<math>\infty</math>. <br />Der Grenzwert einer Funktion f(x) für '''immer kleiner werdende x-Werte''' beträgt <math>\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)</math>, gesprochen: "Limes von f(x) für x gegen -<math>\infty</math>". <br />Die '''waagrechte Asymptote''' für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade '''y=G'''. f heißt '''divergent''' wenn sich die Funktion f(x) für immer größer werdende x-Werte keiner festen Grenze annähert, sondern beispielsweise gegen -<math>\infty</math> fällt. Man schreibt: <math>\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)</math>= -<math>\infty</math>.  
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Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der '''Grenzwert''' der Funktion f für x <math>\rightarrow\</math>+<math>\infty</math>. <br />
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Der Grenzwert einer Funktion f(x) für '''immer kleiner werdende x-Werte''' beträgt <math>\lim_{x\rightarrow-\infty} f(x)</math>, gesprochen:<br />
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"Limes von f(x) für x gegen - <math>\infty</math>". <br />
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Die '''waagrechte Asymptote''' für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade '''y = G'''. <br />
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f heißt '''divergent''' wenn sich die Funktion f(x) für '''immer größer werdende x-Werte''' keiner festen Grenze annähert, sondern bspw. gegen -<math>\infty</math> fällt.<br />
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Man schreibt: <math>\lim_{x\rightarrow\infty} f(x)</math>= -<math>\infty</math>.  
  
 
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Version vom 1. November 2013, 15:00 Uhr


Gruppe 1

links Bei der Funktion f(x-a)+b wird der Graph für a kleiner 0 nach ... verschoben.
oben Bei der Funktion f(x-a)+b wird der Graph für b größer 0 nach ... verschoben.
gerade Eine Funktion, die nur x-Potenzen mit geraden Exponenten enthält, nennt man ... Funktion.
gleich Ist eine Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse, so sind die Funktionswerte für betragsmäßig gleiche x-Werte ... weit vom Ursprung entfernt.
Spiegelpunkt Bei der Punktspiegelung entsteht der ... aus dem ursprünglichen Punkt, indem die x- und y-Koordinate mit -1 multipliziert wird.
umgekehrtem Liegt Punktsymmetrie zum Ursprung vor, hat die Funktion für x und -x betragsmäßig den gleichen Wert mit ... Vorzeichen.
doppelt Multipliziert man einen Funktionsterm mit 2, so ist der Funktionswert ... so weit von der x-Achse entfernt wie der ursprüngliche Funktionswert.
halb Die Werte der Funktion g(x) = f (a ∙ x) sind für a = 2 genau ... so weit von der y-Achse entfernt wie die x-Werte von f.
Asymptote Die Gerade, der sich die Grenzwerte im Unendlichen annähern, heißt ... .
Limes Mit dem ... -Symbol werden die Funktionswerte für immer größer oder kleiner werdende x-Werte untersucht.
Grenzwert Wird ein Graph durch die Gerade y = 5 begrenzt, so ist 5 der ... der Funktion.
divergent Nähert sich eine Funktion für immer größer werdende x-Werte keiner festen Grenze an, ist sie ... .



Gruppe 2

Bist du bereit für das ''ULTIMATIVE MATHE-ABENTEUER''?

Dann bist du hier genau richtig, du kleiner Mathe-Freak!

Mach dich bereit für spannende Ausflüge in die faszinierende Welt der Mathematik!

Auf in den ZAHLENKAMPF! :)

Deine Mathegötter Sebastian, Maximilian und Jonas! ;)



Die Welt der Grenzwerte

Definition:

Nähert sich der Graph einer Funktion f für immer größer werdende x-Werte einer Zahl G immer weiter an, so nennt man G den Grenzwert für x gegen +∞:
In mathematischer Schreibweise:\lim_{x\rightarrow\infty} f(x) = G .

Auf gleiche Weise definiert man den Grenzwert einer Funktion f für immer kleiner werdende x-Werte, also für x gegen -∞, mit \lim_{x\rightarrow\ -\infty} f(x).

Nähert sich eine Funktion f für immer größere x-Werte keiner festen Grenze an, sondern fällt beispielsweise gegen -∞,so heißt f divergent. \lim_{x\rightarrow\ +\infty} f(x) = -\infty



Gruppe 3

Zuordnugsquiz zur Symmetrie von Funktionen

Punktsymmetrisch sin (2x) x9 - x -3x299 - x7 + 2x3 -x13 + 0,5x3
Achsensymmetrisch 0,5z2 - 2 x-12 - 3x-8 -2x-4 + 3x2 - 1 -0,5x6 + 4x4 - 13
Weder noch x-5 - x + 3 -2,7x81 - 6 x42 + x12 - 6x 3x3 - x + 1



Lückentext

Symmetrie:
Bei der Achsensymmetrie gilt: f(x)= f(-x).
Bei der Achsensymmetrie dürfen im Funktionsterm nur x- Potenzen mit geraden Exponenten auftreten.

Bei der Punktsymmetrie gilt: f(-x)= -f(x).
Bei der Punktsymmetrie dürfen im Funktionstern nur x- Potenzen mit ungeraden Exponenten auftreten.

Verschiebung:
Beim Term f(x)= g(x-a)+b entsteht der Graph von f aus dem Graphen von g, der für a<0 nach links und für a>0 nach rechts verschoben wird.
Der Parameter b<0 sorgt für die Verschiebung nach unten und b>0 nach oben.



Gruppe 4

Wie verläuft die Funktion f(x)= 2x3+x4+7? (!von links unten nach rechts oben) (!von links unten nach rechts unten) (von links oben nach rechts oben) (!von links oben nach rechts unten)

Welche Symmetrie besitzt die Funktion f(x)= x3? (!Achsensymmetrie zur y-Achse) (Punktsymmetrie zum Ursprung) (!Keine Symmetrie)

Was ist die Voraussetzung für eine achsensymmetrische Funktion? (!Verlauf durch den Ursprung) (Alle Exponenten gerade) (!Alle Exponenten ungerade) (Größter Exponent ist gerade)

Wie beeinflusst der Faktor t=2 die Parabel der Funktion f(x)= tx2+5? (!Sie wird +2 nach oben verschoben) (Sie wird enger) (!Sie wird weiter) (!Sie wird -2 nach unten verschoben)

Wie heißt der Term der Funktion f(x)=x8-3, wenn sie an der x-Achse gespiegelt wird? (!-x8-3) (!x8+3) (-x8+3) (!x-8-3)



Gruppe 5

Memory zu Verschiebungen

Welche Verschiebung liegt hier vor?
Ordne die Verschiebung der passenden Funktionsgleichung zu.

a(x) = (x+4)2 Verschiebung um 4 nach links
b(x) = x3 - ½ Verschiebung um ½ nach unten
c(x) = (x-4)4 + 11 Verschiebung um 4 nach rechts und um 11 nach oben
d(x) = (x-4)13 Verschiebung um 4 nach rechts
e(x) = -x9 keine Verschiebung
f(x) = -x6 + ½ Verschiebung um ½ nach oben



Gruppe 6

Memo-Quiz zu Funktionen


(x-2)^4.png | (x-2)^4
2cosx.jpg | 2cosx
X^2+1.jpg | x^2+1
X^5+2x-1.jpg | x^5+2x-1
-x^3.png | -x^3
Y=2.jpg | y=2



Gruppe 7

Kreuzworträtsel zu Manipulationen an Funktionen

Hinweis:
y-Richtung wird geschrieben als: yRichtung
Mehrere Worte werden zusammen geschrieben.


links Wie verschiebt sich der Graph von f(x + a) + b, für a größer 0?
Parameter Wie nennt man die veränderlichen Buchstaben in einer Funktionsgleichung?
rechts Wie verschiebt sich der Graph von f(x + a) + b, wenn gilt: a kleiner 0?
xRichtung In welche Richtung wird der Graph der Funktion f(a ∙ x) gestreckt?
Spiegelung an der x-Achse Was passiert mit einem Graphen, wenn alle Funktionswerte mit -1 multipliziert werden?
yRichtung In welche Richtung wird der Graph von g gestreckt, wenn gilt: g = 2 ∙ f?
Punktsymmetrie Auf was kann man schließen, wenn gleichweit vom Ursprung entfernte x-Werte immer den betragsgleichen Funktionswert mit unterschiedlichen Vorzeichen besitzen?
ungerade Funktion Wie nennt man eine Funktion mit nur ungeraden Exponenten?
Achsensymmetrie Welche Symmetrie liegt vor, wenn eine Funktion f für gleich weit vom Ursprung entfernte x-Werte immer die gleichen Funktionswerte besitzt?
gerade Funktion Eine Funktionen mit nur geraden Exponenten nennt man ...?
lim Mit welchem Kürzel untersucht man die Funktionswerte für immer größer oder kleiner werdende x-Werte?
Limes Wofür steht die Abkürzung 'lim'?



Gruppe 8

Lückentext-Quiz zum Thema "Manipulationen an Funktionen"

1. Symmetrie

Alle Exponenten, die in einem Funktionsterm auftauchen, müssen gerade sein, um Achsensymmetrie zur y-Achse nachweisen zu können.
Wenn der Funktionsterm einer geraden Funktion vorliegt, kann man darauf schließen, dass alle gleich weit vom Ursprung entfernten x-Werte gleiche Funktionswerte haben.
Daraus folgt: f(x)= f(-x).

Eine Funktion f(x), die nur ungerade Exponenten besitzt, ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Die Punktsymmetrie zum Ursprung zeigt sich am Graphen dadurch, dass alle Funktionswerte, die gleich weit vom Ursprung entfernt sind, betragsmäßig gleich sind, aber unterschiedliche Vorzeichen haben.
Daraus folgt: f(-x)= -f(x)




2. Verschiebung

Der Graph einer Funktion f(x - a) + b wird um a Einheiten in x-Richtung bzw. um b Einheiten in y-Richtung verschoben.
Ist a>0 wird der Graph nach rechts verschoben, bei a<0 nach links.
Für b>0 wird der Graph in positive Richtung, bei b<0 in negative Richtung verschoben.
Folglich sorgt a unabhängig von b für eine Verschiebung entlang der x-Achse, bzw. b unabhängig von a für eine Verschiebung entlang der y-Achse.




3. Streckung und Spiegelung

Bei einer Funktion der Form g(x) = -a ⋅ f(x) handelt es sich bei a um den Streckungsfaktor, der den Graphen in y-Richtung streckt.
Zudem wird der Graph durch das negative Vorzeichen an der x-Achse gespiegelt.

Bei einer Funktion der Form g(x) = f(-a ⋅ x) beträgt der Streckungsfaktor stets 1/a, der die Funktion in x-Richtung streckt.
Durch das negative Vorzeichen in der Klammer wird der Graph an der y-Achse gespiegelt.




4. Grenzwerte im Unendlichen

Kommt der Graph einer Funktion f(x) einer Zahl G immer näher, so ist G der Grenzwert der Funktion f für x Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \rightarrow\ +\infty.
Der Grenzwert einer Funktion f(x) für immer kleiner werdende x-Werte beträgt \lim_{x\rightarrow-\infty} f(x), gesprochen:
"Limes von f(x) für x gegen - \infty".
Die waagrechte Asymptote für den Graphen der Funktion f ergibt sich aus der Gerade y = G.

f heißt divergent wenn sich die Funktion f(x) für immer größer werdende x-Werte keiner festen Grenze annähert, sondern bspw. gegen -\infty fällt.
Man schreibt: \lim_{x\rightarrow\infty} f(x)= -\infty.



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Manipulationen an Funktionen

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